Question

UFRR(2016) A reta de equação s: y = 2x + k intercepta o círculo C de centro (Xo , yo ) e raio r nos pontos A(xa, ya) e B(XB , YB ). Sabendo-se que a distância horizontal entre A e B é 1/2, podemos afirmar que o comprimento do segmento AB vale:

R: raiz de 5/2​

Answer 1

Resposta:

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Explicação passo a passo:

A distância horizontal é a diferença entre as coordenadas horizontais dos pontos A e B, ou seja:

$\bold{x_a - x_b = 2 }$

Fiz uma figura de exemplo em anexo, a ordem de A e B daria no mesmo se fosse invertida, pois distância sempre é positiva.

Agora agora vamos substituir os pontos A e B na equação da reta Y para achar uma relação entre os Y.

$y = 2x + k\\ \\ y_a = 2x_a + k\\ y_b = 2x_b + k\\ \\ (subtraindo \ a \ primeira \ da \ segunda)\\ \\ y_a - y_b = 2x_a - 2x_b\\ \bold{y_a - y_b = 2(x_a - x_b)}$

Agora vamos aplicar a fórmula da distância entre dois pontos para achar a distância de A e B:

$D = \sqrt{(x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2}\\ \\ D = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (2(x_a-x_b))^2}\\ \\ D = \sqrt{\frac{1}{4} + (2(\frac{1}{2}))^2}\\ \\ D = \sqrt{\frac{1}{4} + (1)^2}\\ \\ D = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{4}{4} }\\ \\ D = \sqrt{\frac{5}{4}}\\ \\ \bold{D = \frac{\sqrt{5}}{2}}$