Question

UFRN Cálculo 1 limites bilatérias


Resolva o seguinte Limite mostrando os cálculos é as propriedades utilizadas



$\Large\lim _{x\to 1}\left(\frac{x^4-1}{x^3-1}\right)$

Answer 1

Ao calcularmos o limite desta questão, encontramos

$\large\boxed{\lim_{x\to 1}\frac{x^4-1}{x^3-1}=\frac{4}{3}.}$

_____

Queremos calcular o seguinte limite:

$\large\text{ \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^4-1}{x^3-1} .}$

Para tanto, vamos usar os seguintes produtos notáveis:

$\large\boxed{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$

$\large\boxed{a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}$

Além disso, vamos usar o fato de que o limite de uma função polinomial quando x tende a "a" é igual ao valor numérico da função quando x=a.

Também vai ser útil a propriedade a seguir:

Se $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L$ e $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=M\neq0,$ então

$\large\boxed{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.}$

Assim sendo, temos

$\large\begin{aligned}&\quad\lim_{x\to 1}\frac{x^4-1}{x^3-1}=\\\\&=\lim_{x\to 1}\frac{(x^2)^2-1^2}{x^3-1^3}\\\\&=\lim_{x\to 1}\frac{(x^2+1^2)(x^2-1^2)}{(x-1)(x^2+x+1^2)}\\\\&=\lim_{x\to 1}\frac{(x^2+1)(x+1)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}\\\\&=\lim_{x\to 1}\frac{(x^2+1)(x+1)}{x^2+x+1}\\\\&=\frac{(1^2+1)(1+1)}{1^2+1+1}\\\\&=\frac{2\cdot2}{3}\\\\&=\frac{4}{3}.\end{aligned}$

Logo,

$\large\boxed{\boxed{\lim_{x\to 1}\frac{x^4-1}{x^3-1}=\frac{4}{3}.}}$

Espero ter ajudado!