Question

(UFRJ) Os reitores das universidades federais são escolhi- dos a partir de listas tríplices eleitas por colégios eleitorais. A lei determina que cada um dos eleitores vote em apenas um nome, sendo a lista composta pelos três mais votados. Em certa universi- dade, há 7 candidatos inscritos e o colégio eleitoral tem 79 membros. Um candidato conta com os votos de um número nde eleitores. Qual o menor valor de n para que esse candidato possa ter certeza de estar entre os três mais votados?​

Answer 1

Resposta:

n = 20.

Explicação passo a passo:

A ideia é a seguinte: Se o candidato estiver acima da média dos votos para quatro candidatos, ele tem a garantia de estar entre os três mais votados.

E um quarto de 79 é 19,75, mais próximo de 20.

E isso porque: No pior caso possível, quando a disputa estiver muito acirrada, haverão apenas quatro pessoas disputando a totalidade dos votos (isto é, os demais foram deixados de lado pela comunidade), sendo que uma delas é capaz de retirar nosso candidato da seleção.

Vamos supor que todos esses 4 tenham um mesmo valor médio de votos. Todos os quatro com a mesma quantidade. Se um ganhasse mais um pouquinho de votos, outro perderia um pouquinho. Mas quem estaria na média passaria, pois esse que perdeu um pouquinho, ficou abaixo da média e, portanto, abaixo na classificação.

E quem ganhou, pode ganhar votos o quanto quiser, desde que não seja retirado esses eleitores do nosso amigo na média.

Observe aqui que os outros candidatos excluídos, se ganhassem votos, iriam abaixar nossos camaradas da posição média. Se alguém permanecer nela, entra nos três mais votados.

Answer 2

Resposta: 20

Para obter o mínimo possível de votos que garanta que o candidato fique entre os três mais votados, é preciso uma situação em que os três candidatos mais votados tenham o menor número de votos possível, tendo empate entre os três, de modo que o restante de votos não seja suficiente para fazer outro candidato também empatar e fazer com que tenha obrigatoriamente quatro candidatos mais votados e não três. E para isso não acontecer, os três candidatos mais votados devem ter pelo menos 1 voto a mais que o 4º colocado (considerando que o 4º tenha todos os votos restantes): $x + 1$

Agora, podemos expressar que a soma dos votos dos candidatos entre os três primeiros $(x + 1)$ com os votos do 4º colocado $(x)$ corresponde à quantidade total de votos: $(x + 1) + (x + 1) + (x + 1) + (x) = 79$

$4x + 3 = 79$

$4x = 79 - 3$

$x = \frac{76}{4}$

$x = 19$

O candidato precisa de no mínimo $19 + 1 = 20$ votos para garantir estar entre os três mais votados.