(UFRJ) Os 87 alunos do 3º ano do ensino médio de uma certa escola prestaram vestibular para três universidades: A, B e C. Todos os alunos dessa escola foram aprovados em pelo menos uma das universidades, mas somente um terço do total obteve aprovação em todas elas. As provas da universidade A foram mais difíceis e todos os alunos aprovados nesta foram também aprovados em pelo menos uma das outras duas. Os totais de alunos aprovados nas universidades A e B foram, respectivamente, 51 e 65. Sabe-se que, dos alunos aprovados em B, 50 foram também aprovados em C. Sabe-se também que o número de aprovados em A e em B é igual ao de aprovados em A e em C.Quantos alunos foram aprovados em apenas um dos três vestibulares prestados? Justifique.
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Primeiramente, calculamos a interseção dos alunos aprovados em A, B e C.
(A∩B∩C) = 1 do total
3
(A∩B∩C) = 1·87
3
(A∩B∩C) = 29
Como todos os alunos aprovados em A também foram aprovados em B ou em C, o conjunto dos alunos que só foram aprovados em A é vazio. Logo:
A = 0
O conjunto dos alunos aprovado em A e B é igual ao conjunto dos alunos aprovados em A e C. Logo:
A∩B = A∩C = x
Como o total de aprovados em A é 51, temos:
A = 51 - [(A∩B∩) + (A∩B) + (A∩C)]
0 = 51 - [29 + x + x]
0 = 51 - [29 + 2x]
0 = 51 - 29 - 2x
2x = 51 - 29
2x = 22
x = 22
2
x = 11
Agora, encontramos as interseções:
A∩B = x A∩C = x
A∩B = 11 A∩C = 11
Como dos aprovados em B, 50 também foram aprovados em C, temos que:
(B∩C) = 50 - (A∩B∩C)
(B∩C) = 50 - 29
(B∩C) = 21
Agora, calculemos quantos foram aprovados apenas em B.
B = 65 - [(A∩B) + (A∩B∩C) + (B∩C)]
B = 65 - [x + 29 + 21]
B = 65 - [11 + 29 + 21]
B = 65 - 61
B = 4
Agora, calculemos quantos alunos foram aprovados apenas em C.
U = A + B + C + (A∩B) + (A∩C) + (B∩C) + (A∩B∩C)
87 = 0 + 4 + C + 11 + 11 + 21 + 29
87 = C + 76
C = 87 - 76
C = 11
Pronto. Agora, basta somar os aprovados apenas em B e os aprovados apenas em C.
B + C = 4 + 11 = 15
Pelo menos 15 alunos foram aprovados em apenas três dessas universidades.
Veja o Diagrama de Venn abaixo.
(A∩B∩C) = 1 do total
3
(A∩B∩C) = 1·87
3
(A∩B∩C) = 29
Como todos os alunos aprovados em A também foram aprovados em B ou em C, o conjunto dos alunos que só foram aprovados em A é vazio. Logo:
A = 0
O conjunto dos alunos aprovado em A e B é igual ao conjunto dos alunos aprovados em A e C. Logo:
A∩B = A∩C = x
Como o total de aprovados em A é 51, temos:
A = 51 - [(A∩B∩) + (A∩B) + (A∩C)]
0 = 51 - [29 + x + x]
0 = 51 - [29 + 2x]
0 = 51 - 29 - 2x
2x = 51 - 29
2x = 22
x = 22
2
x = 11
Agora, encontramos as interseções:
A∩B = x A∩C = x
A∩B = 11 A∩C = 11
Como dos aprovados em B, 50 também foram aprovados em C, temos que:
(B∩C) = 50 - (A∩B∩C)
(B∩C) = 50 - 29
(B∩C) = 21
Agora, calculemos quantos foram aprovados apenas em B.
B = 65 - [(A∩B) + (A∩B∩C) + (B∩C)]
B = 65 - [x + 29 + 21]
B = 65 - [11 + 29 + 21]
B = 65 - 61
B = 4
Agora, calculemos quantos alunos foram aprovados apenas em C.
U = A + B + C + (A∩B) + (A∩C) + (B∩C) + (A∩B∩C)
87 = 0 + 4 + C + 11 + 11 + 21 + 29
87 = C + 76
C = 87 - 76
C = 11
Pronto. Agora, basta somar os aprovados apenas em B e os aprovados apenas em C.
B + C = 4 + 11 = 15
Pelo menos 15 alunos foram aprovados em apenas três dessas universidades.
Veja o Diagrama de Venn abaixo.
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