Question

(UFRJ)- A soma de dois números é 6 e a soma de seus quadrados é 68. O módulo da diferença desses dois números?
é:

a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10

Answer 1

a + b = 6
a = 6 - b

a² + b² = 68
(6 - b)² + b² = 68
36 - 12b + b² + b² = 68
2b² - 12b - 32 = 0
b² - 6b - 16 = 0

36 - 4 (1)(-16) =
36 + 64 =
100

v100 = 10

6 + 10 / 2 = 8 ( + )

6 - 10 / 2 = - 2 ( - )

a = 6 - b
a = 6 - 8
a = - 2

b - a = 8 - ( - 2 ) = 8 + 2 =10

Answer 2

Sabemos que a soma de dois números x e y (incógnitos) é igual a 6, ou seja:

$\mathsf{x+y=6\qquad (i)}$

Também nos foi informado que a soma do quadrado de x com o quadrado de y é 68, o que equivale, em linguagem matemática, a:

$\mathsf{x^2+y^2=68\qquad(ii)}$

Baseado nas informações acima, o exercício deseja encontrar o valor de |x - y|, que é o módulo da diferença entre x e y. Para isso, deve-se primeiro partir de (i) e proceder da seguinte maneira:

$\mathsf{\qquad\quad\ \ \: x+y=6}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x+y)^2=6^2}$

Lembrando que (x + y)² = x² + 2xy + y², temos:

$\mathsf{\qquad\quad\: \ (x+y)^2=6^2}\\\\ \mathsf{\iff\quad x^2+2xy+y^2=36}\\\\ \mathsf{\iff\quad x^2+y^2+2xy=36}$

Agora, lembre-se também (de (ii)) que x² + y² = 68, logo:

$\mathsf{\qquad\quad~\: \underbrace{\mathsf{x^2+y^2}\!\!}_{68}\ +\,2xy=36}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad 68+2xy=36}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2xy=36-68}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2xy=-32}$

Ou seja, descobrimos o valor de 2xy. Sabendo que 2xy = - 32, estamos aptos a calcular o valor de |x - y| (valor desejado), e para tal fim, vamos partir da equação (ii) e manipular algebricamente o seu primeiro membro, na tentativa de encontrar a expressão |x - y|. Portanto, ficaremos com:

$\mathsf{x^2+y^2=68}$

Sabendo que x² + y² = (x - y)² + 2xy, obtém-se:

$\mathsf{\qquad\quad \ \: \ x^2+y^2=68}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2+\!\underbrace{\mathsf{2xy}}_{-32}=68}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2-32=68}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2=68+32}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2=100}$

E por último, tendo em mente a propriedade √x² = |x| (x ∈ R), chega-se ao resultado final:

$\mathsf{\qquad\quad~~\:\, \sqrt{\!(x-y)^2}=\sqrt{100}}\\\\ ~\ \mathsf{\iff\quad |x-y|=10}$

Ou seja, o valor de |x - y| = |y - x| é 10.

Resposta:

$\ \large\boxed{\mathsf{|x-y|=10}}$

• Item correto: e).

Obs.: as identidades algébricas (x + y)² = x² + 2xy + y² e x² + y² = (x - y)² + 2xy são válidas para todo x e y complexos.