Question

(UFRGS) Se um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(1,4) e
B( -6,3), a abscissa de P vale:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 3

Answer 1

A abscissa do ponto P vale $\bf-2.$

Explicação

Sejam $A=(x_A,\,y_A)$ e $B=(x_B,\,y_B)$ dois pontos do plano. A distância entre eles é dada pela seguinte fórmula:

$\Large\text{ d_{AB}=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} ,}$

em que:

• $\Delta x=x_A-x_B\textsf{ ou }\Delta x=x_B-x_A;$

• $\Delta y=y_A-y_B\textsf{ ou }\Delta y=y_B-y_A.$

Como o ponto P pertence ao eixo das abscissas, a sua ordenada vale 0. Dessa forma, podemos denotá-lo como P = (x, 0).

Tendo em vista que P equidista (dista igualmente) dos pontos A = (1, 4) e B = (-6, 3), segue que:

$\Large\text{ \begin{gathered}d_{PA}=d_{PB}\\\\\sqrt{(x-1)^2+(0-4)^2}=\sqrt{(x+6)^2+(0-3)^2}\\\\(x-1)^2+(-4)^2=(x+6)^2+(-3)^2\\\\\diagup\!\!\!\!\!x^2-2x+1+16=\diagup\!\!\!\!\!x^2+12x+36+9\\\\-2x+17=12x+45\\\\-2x-12x=45-17\\\\-14x=28\\\\x=-\dfrac{28}{14}\\\\\boxed{\boxed{x=-2}}\end{gathered} }$

Portanto, a abscissa que procurávamos é igual a $-2$, que é a resposta contida na alternativa a.

Dúvidas? Comente.

Espero ter ajudado!