(UFRGS-RS) Um desenhista foi interrompido durante a
realização de um trabalho, e seu desenho ficou como na
figura abaixo.
Se o desenho estivesse completo, ele seria um polígono
regular composto por triângulos equiláteros não sobrepostos, com dois de seus vértices sobre um círculo, e formando um ângulo de 408, como indicado na figura.
Quando a figura estiver completa, o número de triângulos equiláteros com dois de seus vértices sobre o círculo é
a) 10. d) 16.
b) 12. e) 18.
c) 14.
Soluções para a tarefa
Explicação:
Se são triângulos equiláteros, temos que os ângulos valem 60°
2.60° + 40°= 160°
Ou seja, cada ângulo desse polígono vale 160°
A formula da soma dos ângulos de um polígono qualquer é
(n-2).180
Se o número de lados é igual ao número de ângulos, e chamando n de números de lados, o número de lado vezes o valor de cada ângulo, dá a soma de cada ângulo.
Logo:
(n-2).180 = 160.n
180n-360=160n
20n=360
n=18
Logo, o polígono tem 18 lados, e como cada lado terá triângulos isósceles com os dois lados colados, então terão 18 triângulos.
O número de triângulos equiláteros com dois de seus vértices sobre o círculo é:
e) 18
Explicação:
Pela figura, nota-se que o número de triângulos equiláteros com dois de seus vértices sobre o círculo corresponde ao número de lados do polígono inscrito nesse círculo.
Pela figura, é possível encontrar a medida do ângulo interno desse polígono regular. Equivale a 40° mais a soma das medidas de dois ângulos internos do triângulo equilátero. Cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede 60°. Logo:
ai = 60° + 40° + 60°
ai = 160°
A fórmula do ângulo interno de um polígono regular é:
ai = (n - 2)·180°
n
sendo n o número de lados.
Logo:
(n - 2)·180° = 160°
n
(n - 2)·180° = n·160°
180n - 360 = 160n
180n - 160n = 360
20n = 360
n = 360
20
n = 18
Portanto, esse polígono tem 18 lados. Então, ele é formado por 18 triângulos equiláteros.
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