Question

(UFRGS-RS-2019) O valor de
$e = log( \frac{1}{2} ) + log( \frac{2}{3} ) + ... + log( \frac{999}{1000} )$
é:
3
E) 1
A) -3
B) -2
C) -1
D) 0​

Answer 1

Resposta:

Letra A

Explicação passo-a-passo:

Olá,

Vamos começar analisando o log(1/2) :

Note que nesse log (e nos demais logaritmos da sequencia) o nosso logaritmando é representado por uma divisão de valores. Existe uma propriedade dos logaritmos que versa sobre isso. Veja :

log(x/a) → log x - log a

Diante dessa explicação vamos começar a resolução dessa expressão desmembrando os primeiros logaritmos que aparecem na mesma. Logo :

log(1/2) → log 1 - log 2

log(2/3) → log 2 - log 3

Vamos colocar esses logaritmos enfileirados p/ facilitar nossa a visualização do problema :

log 1 - log 2 + log 2 - log 3 + ......

Perceba que nós podemos cancelar o -log 2 com o log 2. Note que isso vai acontecer com todos os logaritmos da nossa sequencia com exceção do primeiro e do último já que :

log(999/1000) → log 999 - log 1000

Portanto nós podemos reduzir toda essa sequencia de logaritmos a seguinte expressão :

log 1 - log 1000

Agora eu preciso que voce se recorde de algumas coisas importantes :

Quando a base do logaritmo não está visível esse é um logaritmo decimal (Ou seja, a sua base vale 10). Portanto nós podemos escrever o seguinte :

log₁₀ 1 - log₁₀ 1000

O logaritmo nada mais é dó que o número que eu devo elevar a minha base p/ chegar no valor do logaritmando. De acordo com essa definição nós podemos dizer que :

log₁₀ 1 = n, em que :

base → 10

logaritmando → 1

logaritmo → n

Logo :

10ⁿ = 1

Como qualquer número elevado a 0 é igual a 1 nós ficamos com :

10ⁿ = 10⁰

Note que agora nós caímos em uma equação exponencial. P/ resolvermos esse tipo de equação é necessário que as nossas bases sejam iguais, se elas forem iguais nós também podemos fazer a igualdade entre os seus expoentes. Portanto :

n = 0

Fazendo o mesmo procedimento p/ achar o valor do log₁₀ 1000 :

log₁₀ 1000 = a

10ᵃ = 1000

Como o 1000 nada mais é do que o 10 multiplicado 3 vezes então nós teremos que :

10ᵃ = 10³

a = 3

Agora é só voltar na expressão que nós encontramos anteriormente e substituir o valor dos logaritmos. Veja :

log₁₀ 1 - log₁₀ 1000 → 0 - 3 = -3

Portanto e = -3