Question

UFRGS- Questão 25/2020- Se a equação x²+2x-8=0 tem raízes a e b então o valor de (1/a+1/b)² é:

a) -1/16
b) -1/4
c) 1/16
d) 1/4
e) 1

Obs.: gostaria que fosse respondida com o passo a passo. Grata! ♥️​

Answer 1

Com os cálculos realizados concluímos que o valor numérico da  expressão é:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \right)^2 = \dfrac{1}{16} } }$ e sendo alternativa correta é a letra C.

A equação do 2° grau é representada por: ax² + bx + c = 0, em que os coeficientes a, b e c são números reais, com a ≠ 0.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf x^{2} +2b x - 8 = 0 \\ \sf a = x_1 \\\sf b = x_2 \\ \\ \sf \left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \right)^2 = \:? \end{cases} } }$

Determinar o Δ:

$\large \displaystyle \mathsf{ \Delta = b^2 -\:4ac }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \Delta = 2^2 -\:4 \cdot 1 \cdot (-8) }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \Delta = 4 + 32 }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \Delta = 36 }$

Agora  vamos determinar as raízes da equação:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\:2 \pm \sqrt{ 36 } }{2 \cdot 1} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{-\:2 \pm 6 }{2} } \Rightarrow\begin{cases} \sf x_1 = &\sf \dfrac{-\,2 + 6}{2} = \dfrac{4}{2} = \:2 \\\\ \sf x_2 = &\sf \dfrac{-\:2 - 6}{2} = \dfrac{- \:8}{2} = - \: 4\end{cases} }$

Logo a = 2 e  b = - 4, substituindo na expressão  que o enunciado pede, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \right)^2 = \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} \right)^2 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \right)^2 = \left( \dfrac{2}{4} - \dfrac{1}{4} \right)^2 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \right)^2 = \left( \dfrac{1}{4} \right)^2 } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \right)^2 = \dfrac{1}{16} }$

Alternativa correta é a letra C.

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