Question

(UFRGS) O ponto A de intersecção das retas x - y - 4 = 0 e x + y + 2 = 0 e os pontos B e C de intersecção das mesmas retas com o eixo dos x são vértices do triângulo ABC de área : a) 1 b) 6 c) 9 d) 12 e) 18


Como faço isso? to perdido...

Answer 1

Vamos começar nomeando as retas:

r: x - y - 4 = 0

s: x + y + 2 = 0

A questão diz que A é o ponto de interseção de r e s. Para encontrar-mos esse ponto, basta pôr as retas num sistema de equações e encontrar o par ordenado que as satisfaz:

x - y - 4 = 0
x + y + 2 = 0
---------------
2x - 2 = 0
2x = 2
x = 1

e

1 + y + 2 = 0
y = -3

Portanto, A(1, -3) é a interseção de ambas.

A questão também diz que B é a interseção de r com o eixo x. Ora, para B interceptar o eixo x é necessário que sua ordenada seja 0:

B(x, 0)

Sendo assim, vamos pegar a equação r e achar x quando y = 0:

x - y - 4 = 0

x - 4 = 0

x = 4

Logo, B(4, 0).

Algo parecido deve ser feito para encontrar C:

C(x, 0)

x + y + 2 = 0

x + 2 = 0

x = -2

Portanto, C(-2, 0).

Com os três vértices do triângulo, podemos encontrar sua área pela fórmula abaixo:

$\displaystyle A = \frac{|D|}{2}$

Nessa equação, D é o determinante dos três vértices e as duas barras indicam seu módulo.

$\displaystyle \begin{vmatrix}1&-3&1\\4&0&1\\-2&0&1 \end{vmatrix}$

Obs.: A 3ª coluna foi adicionada para facilitar o cálculo do determinante.

Para definí-lo, você pode usar a regra de Sarrus ou algo semelhante.

D = (-2)(-3)(1) + 0 + 0 - 4(1)(-3) - (-2)(0)(1) - 1(0)(1)

D = 6 + 12

D = 18

Com o determinante em mãos, podemos achar a área do triângulo:

$\displaystyle A = \frac{|18|}{2}$

$\displaystyle A = 9$

Portanto, a letra correta é a C.