Question

(UFRGS) No triângulo ABC desenhado abaixo, P, Q e R são os pontos médios dos lados. Se a medida da área do triângulo hachurado é 5, a medida da área do triângulo ABC é:

a)     20
b)     25
c)     30
d)     35
e)     40

O desenho está em anexo.. tentei de tudo mas nenhuma solução..kkk

Answer 1

Quando tentei responder sem ver a figura deu uma resposta diferente da certa... xP
Questão de razão de semelhança, mas tem que ver a figura pra saber o que foi dado xPP

Seja $k$ a razão de semelhança entre os dois triângulos. Seja E a interseção dos segmentos AR e PQ. Sejam $H$ e $B$ a altura e a base do triângulo ABC e $h$ e $b$ a altura e a base do triângulo APQ. Por causa da razão de semelhança podemos afirmar que:

$\left\{\begin{array}{l}B=k.b\\ H=k.h\end{array}\right.$

Sejam, ainda, $S$ e $s$ as áreas dos triângulos ABC e APQ, respectivamente. Temos que:

$\left.\begin{array}{l}S=\frac{B.H}{2}\Rightarrow S=\frac{kh.hb}{2}\\ s=\frac{b.h}{2}\end{array}\right\}\Rightarrow \boxed{S=k^2.s}$

Perceba que E é ponto médio de PQ, portanto a área destacada é a metade da área de APQ. Isso quer dizer que $s=2.5\Rightarrow s=10 \ cm^2$. Agora é só substituir tudos:

$S=2^2.10\Rightarrow S=4.10\\ \\ \boxed{\boxed{S=40 \ cm^2}}$

R: 40cm²