Question

(UFRGS-2022) Considere um triângulo equilátero ABC de lado 1

O volume do sólido obtido ao girar o triângulo ABC em torno da reta r que passa pelo vértice A e é paralela ao lado BC, mantendo o paralelismo da reta r com o lado BC do triângulo, é

a) $2\pi$

b)$\frac{3\pi}{2}$

c)$\frac{\pi}{4}$

d)$\frac{\pi}{3}$

e) $\frac{\pi}{2}$
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Answer 1

$\boxed{\large \sf V_{ABC} = \frac{\pi}{2} }$

Explicação

Ao girar o triângulo ABC em torno da reta r, podemos ver que 3 formas geométricas são formadas, sendo elas: 1 cilindro e 2 cones. Portanto basta fazer o cálculo do volume de cada um destes e fazer as devidas operações.

Primeiro vamos montar um relação que expressa o volume apenas do sólido gerado pela rotação.

$\sf V_{ABC} = V_{cilindro} - 2.V _{cone} \\ \\ \sf V_{ABC} = \pi.r {}^{2} .h - \frac{2.\pi. r {}^{2}. h}{3}$

• Volume do cilindro

Vamos iniciar calculando o volume do cilindro. Observando a imagem anexada, é possível ver que o raio do cilindro é igual a altura de um triângulo equilátero, calculada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf h = \frac{ \ell \sqrt{3} }{2}$

Como o lado mede 1, então a altura do triângulo equilátero que neste caso é o raio, é igual a:

$\: \: \: \: \sf h = r = \frac{1. \sqrt{3} }{2} \: \: \to \: \: r = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

A altura do cilindro é basicamente a medida do lado BC, que é 1. Substituindo todos estes dados na relação do Volume do cilindro:

$\sf V_{cilindro} = \pi. \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) ^{2} .1 \: \: \to \: \: V_{cilindro} = \pi. \frac{3}{4} \\ \\ \boxed{ \sf V_{cilindro} = \frac{3\pi}{4} }$

• Volume dos cones:

O cálculo do volume do cone é análogo ao do cilindro, a única coisa que irá mudar é a altura, pois como pode visto na imagem, a altura é basicamente a metade da altura do cilindro, isto é, se altura do cilindro é 1, a do cone é 1/2. Substituindo estas informações na fórmula:

$\sf V_{cone} = \frac{\pi. \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) ^{2}. \frac{1}{2} }{3} \: \: \to \: \: V_{cone} = \frac{ \frac{3\pi}{4}. \frac{1}{2} }{3} \\ \\ \sf V_{cone} = \frac{ \frac{3\pi}{8} }{3} \: \: \to \: \: V_{cone} = \frac{\pi}{8}$

Como são dois cones iguais, é necessário multiplicar estes resultado por 2.

$\sf V_{cones} = 2. \frac{\pi}{8} \: \: \to \: \: \boxed{ \sf V_{cones} = \frac{\pi}{4} }$

Agora basta subtrair estes volumes encontrados, de acordo com a relação montada.

$\sf V_{ABC} = \frac{3\pi }{4} - \frac{\pi}{4} \: \: \to \: \: \sf V_{ABC} = \frac{2\pi}{4} \\ \\ \sf \boxed{ \sf V_{ABC} = \frac{\pi}{2} }$

Espero ter ajudado