Question

(UFRGS 2019) Um prisma reto de base hexagonal
regular tem a mesma altura de um prisma cuja base é um
triângulo equilátero. Considere h a medida da aresta da
base do prisma hexagonal e t a medida da aresta da base
do prisma triangular. Se ambos os prismas têm o mesmo
volume, então a razão
ℎ

vale
a) 1
√6
b) 1
6
c) 1 d) √6 e) 6

Answer 1

A razão h/t é igual a 1/√6.

O volume de um prisma é igual ao produto da área da base pela altura.

Vamos considerar que a altura dos dois prismas é igual a x.

Volume do prisma de base hexagonal

A área do hexágono é igual a seis vezes a área de um triângulo equilátero. Sendo h a medida da aresta da base, temos que:

Ab = 6.h²√3/4

Ab = 3h²√3/2.

Logo, o volume do prisma é igual a:

V = 3xh²√3/2.

Volume do prisma de base triangular

A área da base é igual à área de um triângulo equilátero. Sendo t a medida da aresta do triângulo, temos que:

Ab = t²√3/4.

Logo, o volume do prisma é igual a:

V = xt²√3/4.

Temos a informação de que os volumes são iguais. Então:

3xh²√3/2 = xt²√3/4

3h²/2 = t²/4

h²/t² = 2/12

h²/t² = 1/6

(h/t)² = 1/6

h/t = 1/√6.

Answer 2

A razão entre h e t ($\frac{h}{t}$) vale $\frac{1}{\sqrt{6} }$, logo a resposta correta é a letra A.

Vamos à explicação:

Primeiramente devemos lembrar da fórmula que nos dá o volume do prisma de base regular, sendo essa:

V = Ab*H, sendo Ab a área da base e H a altura do prisma.

Neste exercício, foi dado que os dois primas têm a mesma altura H e o mesmo volume V, sendo assim vamos calcular inicialmente o volume do prisma de base hexagonal:

Para isso, vamos ao cálculo da área da base hexagonal:

Ab = 6*l²*$\frac{\sqrt{3} }{4}$ = 6*h²*$\frac{\sqrt{3} }{4}$

Agora vamos ao cálculo do volume do prisma de base triangular:

Para isso, vamos ao cálculo da área da base triangular:

Ab = l²*$\frac{\sqrt{3} }{4}$ = t²*$\frac{\sqrt{3} }{4}$

Como é dito que os volumes são iguais, temos que:

6*h²*$\frac{\sqrt{3} }{4}$*H = t²*$\frac{\sqrt{3} }{4}$ ⇒ $\frac{h^{2} }{t^{2} }$ = $\frac{1}{6}$ ⇒ $\frac{h}{t}$ = $\sqrt{\frac{1}{6} }$ = $\frac{1}{\sqrt{6} }$

Espero ter ajudado!!!

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