Question

(UFRGS 2017)Considere o polinômio p definido por p(x) = x2 + 2(n + 2)x + 9n.Se as raízes de p(x) = 0 são iguais, os valores de n são:A) 1 e 4.B) 2 e 3.C) – 1 e 4.D) 2 e 4.E) 1 e – 4.

Answer 1

Para que p(x) = x² + 2(n + 2)x + 9n possua duas raízes iguais, então o valor de delta tem que ser igual a 0.

Então, calculando delta:

Δ = (2(n + 2))² - 4.1.9n

Δ = (2n + 4)² - 36n

Δ = 4n² + 16n + 16 - 36n

Δ = 4n² - 20n + 16

Assim,

4n² - 20n + 16 = 0

Utilizando a fórmula de Bháskara para calcular os valores de n:

Δ = (-20)² - 4.4.16

Δ = 400 - 256

Δ = 144

Como Δ > 0, então a equação possui duas raízes reais diferentes.

$n = \frac{20+-\sqrt{144}}{2.4}$

$n = \frac{20+-12}{8}$

Portanto, as raízes são:

$n' = \frac{20+12}{8} = 4$

$n'' = \frac{20-12}{8} = 1$

Logo, os valores de n são: 1 e 4.

Alternativa correta: letra a).