Question

(Ufrgs 2014) Um cone reto com raio da base medindo 10 cm e altura de 12 cm será seccionado por um plano paralelo à base, de forma que os sólidos resultantes da secção tenham o mesmo volume. A altura do cone resultante da secção deve, em cm, ser:a) 6.b) 8.c) 6 raiz de 2.d) 6 raiz cúbica de 2.e) 6 raiz cúbica de 4.

Answer 1

A altura do cone resultante da secção deve, em cm, sera:

Answer 2

Olá!

Completando a informação da imagem, para poder resolver a questão devemos faze-ó pela semelhança de triângulos.

Primero tratamos de representar graficamente o cone para observar como ele é dividido em dois cones, um maior e um menor dentro dele.

Então para determinar a altura do cone resultante da secção (o menor) fazemos uma relação de semelhança entre as alturas e o volume dos cones. Assim temos que:

$\frac{V_{maior}}{V_{menor}} = \frac{(h_{maior})^{3}}{(h_{menor})^{3}}$

Agora, lembrando que os dois cones sólidos formados vam ater o mesmo volume, temos que:

$V_{menor} = \frac{V_{maior}}{2}$

Substituindo na expressão anterior temos que, altura do cone resultante da secção é:

$\frac{V}{2} =\frac{(h_{menor})^{3}}{(h_{maior})^{3}}$

$\frac{V}{2} =\frac{(h_{menor})^{3}}{(h_{maior})^{3}} \;*\; V\\\\\frac{1}{2} =\frac{(h_{menor})^{3}}{(h_{maior})^{3}}\\\\2\;*\;(h_{menor})^{3} = (h_{maior})^{3}\\\\(h_{menor})^{3} = 864\\\\h_{menor} = \sqrt[3]{864}\\\\\h_{menor} = 6\sqrt[3]{4}$