Question

(UFRGS 2003) No cubo da figura, M e N são pontos médios de duas arestas. Se a aresta do cubo mede 1, a área do quadrilátero destacado é:

(A) 5/4 (B) 2 (C) √6/2 (D) 3 (E) √5/2

Answer 1

Resposta:

Letra E

Explicação passo-a-passo:

Note que o quadrilátero se trata de um losango. A área de um losango é calculada da seguinte forma:

$\frac{D + d}{2}$

Sendo:

D = Diagonal maior

d = diagonal menor

• Calculando a diagonal maior (D):

A diagonal maior está indo de um vértice para o outro. Assim, podemos observar que esta diagonal, a aresta do cubo e a diagonal da face virada pra baixo formam um triangulo retângulo. Utilizando o teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:

$1^{2} + (\sqrt{2}) ^{2} =D^{2}$

$D^{2} =3\\D=\sqrt{3}$

• Calculando a diagonal menor (d):

Se analisarmos mais de perto, podemos notar que a medida entre N e M equivale a uma diagonal de uma face deste cubo. Logo: $d = \sqrt{2}$

Sendo assim, podemos calcular a área do losango:

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2} }{2}=\frac{\sqrt{5} }{2}$