Question

(UFPR) Se a única solução da equação $\text{log}_{4}~2x+\text{log}_{2}~x=10$ pode ser escrita na forma $a\sqrt[c]{b}$, determine $a-b^{2c}$

Answer 1

veja um exemplo

Verificando as condições de existência dos logaritmos, temos:

4x – 2 > 0

4x > 2

x > 2

      4

x > 1

       2

2x – 1 > 0

2x > 1

x > 1

       2

A subtração de logaritmos de mesma base pode ser expressa como um quociente. Sendo assim, vamos reescrever a equação:



log10 (4x – 2) = log10 2 – log10 (2x – 1)

Como temos uma igualdade de logaritmos de mesma base, podemos desconsiderar os logaritmos e igualar os logaritmandos:

4x – 2 = 2

             2x – 1

(4x – 2)(2x – 1) = 2

8x² – 8x + 2 = 2

8x² – 8x = 0

8(x² – x) = 0

x² – x = 0

x1 = 0

x2 = 1

Podemos desconsiderar o x1 = 0, pois a condição de existência dos logaritmos dessa expressão mostra-nos que x > ½. Portanto, o único valor de x para o qual a igualdade log10 (4x – 2) = log10 2 – log10(2x – 1) é válida é x = 1.

Espero ter ajudado <3