Question

(UFPR) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e I é a matriz identidade de mesma ordem, pode-se mostrar que, para cada n natural, existem números reais α e β tais que

A^n = αA + βI. Dada a matriz

A=
( 2 3 )
( 0 1 )

a) Encontre α e β tais que A^2 = αA + βI.

b) Multiplicando a expressão do item anterior pela matriz inversa A^-1 obtém-se a expressão A = αI + β.^A-1. Use essa informação para calcular a matriz A^-1.

Answer 1

Boa noite

Temos
a)
$A^{2}= \left[\begin{array}{ccc}4&9\\0&1\end{array}\right] \\ \\ queremos \quad \alpha \quad e\quad \beta \quad tais\quad que \\ \\ \alpha * \left[\begin{array}{ccc}2&3\\0&1\end{array}\right] + \beta * \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}4&9\\0&1\end{array}\right] \\ \\ temos\quad entao\quad \alpha =3\quad e\quad \beta =-2$

b) 
$A= \alpha *I+ \beta * A^{-1}\quad logo\quad \beta * A^{-1} =A- \alpha *I \\ \\ \\ A^{-1}= ( A- \alpha *I)\div \beta$

fazendo  α=3  e  β=-2 temos 

$A^{-1}= \left[\begin{array}{ccc} -\frac{1}{2} &- \frac{3}{2} \\0&1\end{array}\right]$

ver desenvolvimento no anexo.