Question

(UFPR) Responda às seguintes perguntas a respeito da função g(x) = $\frac{3x-4}{1-4x}$:

a) Qual é o domínio de g?
b) Qual é a inversa de g?

Answer 1

a) A fungão g(x) é uma fração, portando como não pode haver divisão por 0, o valor do denominador tem que ser diferente de 0. Essa é a única restrição para a função, pois o numerador pode possuir qualquer valor.

Assim, o domínio de g(x) é:

1 - 4x ≠ 0
- 4x ≠ - 1
x ≠ 1/4

Ou seja, x pode ser qualquer valor, exceto 1/4, pois quando x = 1/4 o denominador zera. Veja:

1 - 4x  ⇒  1 - 4(1/4)  ⇒  1 - 4/4  ⇒  1 - 1 ⇒ 0 (isso não pode ocorrer)

Portanto, o domínio de g(x) é:

D(g)= { x ∈ R | x ≠ 1/4} ou pode representar como D(g) = R - {1/4}


b) A função inversa g⁻¹(x). Vamos chamar g(x) de y só pra equação ficar mais organizada. Então temos:

$y= \dfrac{3x-4}{1-4x}$


Primeiramente isolamos x:

$y= \dfrac{3x-4}{1-4x}\Rightarrow 3x-4=y(1-4x)\Rightarrow 3x-4=y-4xy\Rightarrow \\ \\ \\ 3x+4xy=y+4\Rightarrow x(3+4y)=y+4\Rightarrow x= \dfrac{y+4}{3+4y}$


Agora invertemos a relação: trocamos o x por y e o y por x:

$x= \dfrac{y+4}{3+4y}\Rightarrow y= \dfrac{x+4}{3+4x}$

Portanto, a inversa de g(x) é:

$g^{-1}(x)=\dfrac{x+4}{3+4x}$


Se preferir (acho mais fácil), pode fazer a inversão diretamente na função original e então isolar o y:

$y= \dfrac{3x-4}{1-4x}\Rightarrow x= \dfrac{3y-4}{1-4y}\Rightarrow \\ \\ \\ 3y-4=x(1-4y)\Rightarrow 3y-4=x-4xy\Rightarrow 3y+4xy=x+4\Rightarrow\\ \\ y(3+4x)=x+4\Rightarrow y= \dfrac{x+4}{3+4x}$

Encontramos o mesmo resultado:

$g^{-1}(x)=\dfrac{x+4}{3+4x}$