(UFPR) Responda às seguintes perguntas a respeito da função g(x) =
:
a) Qual é o domínio de g?
b) Qual é a inversa de g?
Soluções para a tarefa
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a) A fungão g(x) é uma fração, portando como não pode haver divisão por 0, o valor do denominador tem que ser diferente de 0. Essa é a única restrição para a função, pois o numerador pode possuir qualquer valor.
Assim, o domínio de g(x) é:
1 - 4x ≠ 0
- 4x ≠ - 1
x ≠ 1/4
Ou seja, x pode ser qualquer valor, exceto 1/4, pois quando x = 1/4 o denominador zera. Veja:
1 - 4x ⇒ 1 - 4(1/4) ⇒ 1 - 4/4 ⇒ 1 - 1 ⇒ 0 (isso não pode ocorrer)
Portanto, o domínio de g(x) é:
D(g)= { x ∈ R | x ≠ 1/4} ou pode representar como D(g) = R - {1/4}
b) A função inversa g⁻¹(x). Vamos chamar g(x) de y só pra equação ficar mais organizada. Então temos:

Primeiramente isolamos x:

Agora invertemos a relação: trocamos o x por y e o y por x:

Portanto, a inversa de g(x) é:

Se preferir (acho mais fácil), pode fazer a inversão diretamente na função original e então isolar o y:

Encontramos o mesmo resultado:

Assim, o domínio de g(x) é:
1 - 4x ≠ 0
- 4x ≠ - 1
x ≠ 1/4
Ou seja, x pode ser qualquer valor, exceto 1/4, pois quando x = 1/4 o denominador zera. Veja:
1 - 4x ⇒ 1 - 4(1/4) ⇒ 1 - 4/4 ⇒ 1 - 1 ⇒ 0 (isso não pode ocorrer)
Portanto, o domínio de g(x) é:
D(g)= { x ∈ R | x ≠ 1/4} ou pode representar como D(g) = R - {1/4}
b) A função inversa g⁻¹(x). Vamos chamar g(x) de y só pra equação ficar mais organizada. Então temos:
Primeiramente isolamos x:
Agora invertemos a relação: trocamos o x por y e o y por x:
Portanto, a inversa de g(x) é:
Se preferir (acho mais fácil), pode fazer a inversão diretamente na função original e então isolar o y:
Encontramos o mesmo resultado:
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