Question

(UFPR) Considere o polinômio:
P(x)= x³ - ax² + x + a

I) i²= -1 é uma raiz desse polinômio
II) Qualquer que seja o valor de a, P(x) é divisível por (x-a)
III) Para que P(-2) = -10 ; o valor de a deve ser zero

Assinale a alternativa correta:
a) Somente a afirmativa (II) é verdadeira.
b) Somente as afirmativas (I) e (II) são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas (I) e (III) são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas (II) e (III) são verdadeiras.
e) As afirmativas (I), (II) e (III) são verdadeiras.

Answer 1

A alternativa correta é a C.

Answer 2

Somente a afirmativa III é verdadeira.

Analisando as afirmações, temos:

I. (F) Se substituirmos i² = -1 na equação, temos:

P(-1) = (-1)³ - a(-1)² - 1 + a

P(-1) = -1 - a - 1 + a

P(-1) = -2 ≠ 0

Se o resultado é diferente de zero, o valor -1 não é raiz do polinômio.

II. (F) Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:

x - a = 0

x = a

a | 1  -a  1 | a

  | 1 a-a   |

a | 1  -a  1 | a

  | 1   0  1 | 2a

Para que o polinômio seja divisível por x - a, o resto 2a deve ser igual a zero, logo:

2a = 0

a = 0

Somente para a = 0 o polinômio é divisível por x - a.

III. (V) Substituindo x por -2, temos:

P(-2) = (-2)³ - a(-2)² - 2 + a

P(-2) = -8 - 4a - 2 + a

P(-2) = -10 - 3a

-10 = -10 - 3a

-3a = 0

a = 0