Question

(UFPR) - Calcular a soma x+y considerando que:
-> x e y são números reais positivos;
-> 6, x e y formam, nesta ordem, uma progressão aritmética;
-> 1/6 , 1/x e 1/ 6+y formam nesta ordem, uma progressão geométrica.


R: 30

Answer 1

Progressão Aritmética

P.A(a1,a2,a3)

$a2 = \dfrac{a1+a3}{2}$

P.A (6,x,y)

$x = \dfrac{6+y}{2}$ 

Progressão Geométrica

P.G (a1,a2,a3)

$P.G ( \dfrac{1}{6} , \dfrac{1}{x} , \dfrac{1}{6+y} )$

$\dfrac{1}{x}= \sqrt{ \dfrac{1}{6}. \dfrac{1}{6+y} }$

$( \dfrac{1}{x}) ^{2} = \sqrt{ \dfrac{1}{36+6y} } ^\,\,\,\ {2}$

$\dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{36+6y}$

$\dfrac{1}{36+6y} = \dfrac{4}{36+12y+y^2}$

$144 + 24y = 36 + 12y + y^2$

$y^2 - 12y - 108 = 0$

Δ = 576

y' = 18

y" = -6 => não serve como solução para esse caso

Logo, y = 18

$x = \dfrac{6+y}{2}$

$x = \dfrac{6+18}{2}$

$x = \dfrac{24}{2}$

x = 12

x + y = 12 + 18
x + y = 30