Question

(Ufpi) A soma das raízes da equação |x|² + 2 |x| - 15 = 0 é: a) 0 b) -2 c) -4 d) 6 e) 2

Answer 1

Sendo a seguinte equação uma equação do segundo grau: |x|² + 2 |x| - 15 = 0

Logo temos que: 

Calculando o Δ da equação completa:

Δ = b2 - 4.a.c 
Δ = 22 - 4 . 1 . -15 
Δ = 4 - 4. 1 . -15 
Δ = 64

Há 2 raízes reais.

2) Aplicando Bhaskara:

x = (-b +- √Δ)/2a

x' = (-2 + √64)/2.1   
x' = 6 / 2   
x' = 3

x'' = (-2 - √64)/2.1
x'' = -10 / 2
x'' = -5
 sendo -5 não aceitável, então sobra 3 
portanto |X| = 3 ou x = -3 
se somarmos isso da 3 + (-3) = 0  
Resposta letra "a".

Fonte: User --> Lucas0150

Answer 2

Seja $|x| = y$. Substituindo, temos

$|x|^2 + 2 |x| - 15 = 0 \rightarrow y^2 + 2 y - 15 = 0$

A expressão resultante pode ser resolvida como uma equação do 2º grau, normalmente. As raízes da equação são

$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4(-15)}}{2}=\frac{-2 \pm 8}{2} = -5 \ \text{ou} \ 3$

Substituindo y = |x|, temos 

$|x|=-5 \ \text{ou} \ |x|= 3$

A primeira expressão não possui solução, porque o módulo de um número sempre será positivo. Resta, então,

$|x|= 3 \rightarrow x = -3 \ \text{ou} \ 3$
 
Ou seja, tanto o módulo de -3 quanto o módulo do próprio 3 são iguais a 3, logo, ambos satisfazem à equação acima. A soma das raízes é 3 + (-3) = 0. A alternativa A é correta.

Além disso, resolvi a equação no Mathematica. O programa retornou os valores x = -3 e x = 3, como esperado. Eu posso até errar, mas o computador não erra.