Question

(UFPE) Sejam A e B conjuntos com m e n elementos respectivamente. Analise as seguintes afirmativas:

a) Se f:A⇒B é uma função injetora então m≤n

b) Se f:A⇒B é uma função sobrejetora então m≥n

c) Se f:A⇒B é uma função bijetora então m=n

d) Se f:A⇒B é uma função bijetora então o gráfico de f é um subconjunto de A x B com m x n elementos.

e) Se m=n o número de funções bijetoras f:A⇒B é m!


Valendo melhor resposta. Explique bem.

Answer 1

A: Falso, para ser injeitora x pode ter apenas um valor para y, não podendo ser >=

B:Verdadeiro, na sobrejetora x assume dois valores para y

C:Falso, Na bijetora, o y deve conter o mesmo nunero de elementos que x.

D:Verdadeiro, por causa da alternativa C

E:Verdadeiro, o numero de elementos de A tem que ser igual a B

Answer 2

a) VERDADEIRA. Em uma função injetora, cada elemento de B deve ser imagem de no máximo 1 elemento de A (podendo ser até imagem de ninguém). Assim, B deve conter, no mínimo, o mesmo número de elementos de A (m ≤ n)

b) VERDADEIRA. Em função sobrejetora, cada elemento de B será imagem de no mínimo 1 elemento de A. Não pode haver elementos em B que não sejam imagem de algum de A (ou seja, não pode dobrar ninguém em B). Assim, B deve ter no máximo o mesmo número de elementos de A (m≥n)

c) VERDADEIRA. Funções bijetoras exigem que todo elemento de B seja imagem de exatamente 1 elemento de A, portanto, A e B devem ter o mesmo número de elementos (m=n)

d) FALSA. Em qualquer função f definida em um domínio A com número finito de elementos, o gráfico de f será um subconjunto de AxB com o mesmo número de pontos (elementos de AxB) do domínio. Portanto, esse subconjunto terá m elementos, e não m x n.

e) VERDADEIRA. "Montando" uma função bijetora, o primeiro elemento de A pode "escolher" m elementos de B. O próximo elemento de A não deve repetir, assim, pode escolher m-1 elementos de B, é assim por diante. No final, o número de possibilidades para essa função será m.(m-1).(m-2). ... .2.1 = m!. Isso também pode ser calculado como o número de permutações de elementos de B, que possui m elementos (cujo cálculo também é dado por m!)