Matemática, perguntado por NaoMuitoInteligente, 8 meses atrás

(UFPE)

Seja um triângulo ABC, um ponto D sobre AB e um ponto E sobre AC, tais que:

Medida do ângulo BÂC é de 30°
DB = DC e ED = EC
DE e BC são paralelas
Qual é a medida, em graus, do ângulo AB^C ?

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nymph

Questão contextualizada sobre ângulos.

Se os segmentos DB e DC são congruentes o triângulo BDC é isósceles. Note que o mesmo acontece com o triângulo CDE pois os segmentos ED e EC possuem a mesma medida.

➤ Propriedade dos Triângulos Isósceles :

Os ângulos opostos aos lados congruentes são iguais.

➜ Olhando o triângulo BDC :

lados congruentes → BD e BC ⇔ ângulos iguais → DBC e DCB

Supondo que os ângulos DBC e DCB valham α

➜ Olhando o triângulo CDE :

lados congruentes → CD e CE ⇔ ângulos iguais → CDE e ECD

Supondo que os ângulos CDE e ECD valham β

➤ Propriedade da Soma dos Ângulos Internos :

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º.

➜ Olhando o triângulo ABC :

ângulo BAC + ângulo ACB + ângulo ABC = 180º

O ângulo total do vértice C é dado por :

ângulo ACB = ângulo DCB + ângulo ECD

30º + ângulo DCB + ângulo ECD + α = 180º

30º + α + β + α = 180º

2α + β + 30º = 180º

2α + β = 150º

Como DE e BC são paralelas e os lados AB e AC são transversais que interceptam esses segmentos o exercício envolve também Ângulos formados em paralelas cortadas por Transversais.

➜ Olhando os ângulos CDE e BCD :

Os ângulos CDE e BCD são alternos internos

Se eles são alternos internos eles possuem a mesma medida. Como :

ângulo CDE = β e o ângulo BCD = α ⇔ α = β

➜ Utilizando a Soma dos Ângulos Internos no Triângulo ABC :

ângulo BAC + ângulo ACB + ângulo ABC = 180º

30º + ângulo DCB + ângulo ECD + α = 180º

2α + β = 150º

2α + α = 150º

3α = 150º

$\alpha = \left \frac{150}{3} \right$ → α = 50º