Question

(UFPB) Calcule o valor de n ∈ N que é soluçao da equação (n 2)+(n 3)=19n+11, onde o símblo (n k) representa o nº binomial de numerador n e denominador k.
Alguém consegue resollver essa? Por favor!

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Joseferreira, que a resolução é simples.
Pede-se o número natural que satisfaz a expressão abaixo:

(n) + (n) = 19n + 11
(2) + (3)

Observação: escrevemos o número binomial da forma acima porque a plataforma Brainly não fornece outro símbolo pra isso, ok?

Mas veja que os números binomiais acima querem dizer isto: o primeiro quer dizer: combinação de "n" partes tomadas "2" a "2"; e o segundo quer dizer isto: combinação de "n" partes tomadas "3" a "3".
Assim, substituindo-se cada número binomial pela sua forma de combinação, teremos:

n!/[(n-2)!*2!] + n!/[(n-3)!*3!] = 19n + 11----- desenvolvendo, teremos:
n!/[(n-2)!2*1] + n!/[(n-3)*3*2*1] = 19n + 11
n!/[(n-2)!*2] + n!/[(n-3)!*6] = 19n + 11

Agora faremos isto: em n!/[(n-2)!*2, desenvolveremos n! até (n-2)!. E em n!/[(n-3)|*6], desenvolveremos n! até (n-3)!. Assim, fazendo isso, teremos:

n*(n-1)*(n-2)!/[(n-2)!*2] + n*(n-1)*(n-2)*(n-3)!/[(n-3)!*6] = 19n + 11 ----- no 1º fator, simplificaremos (n-2)! do numerador com (n-2)! do denominador; e, no 2º fator, simplificaremos (n-3)! do numerador com (n-3)! do denominador. Assim, fazendo isso, teremos:

n*(n-1)/2 + n*(n-1)*(n-2)/6 = 19n + 11 ---- desenvolvendo, teremos:
(n²-n)/2 + (n³-3n²+2n)/6 = 19n + 11 ---- mmc entre 2 e 6 = 6. Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

[3*(n²-n) + 1*(n³-3n²+2n)]/6 = 19n + 11 ----- efetuando os produtos indicados, teremos:

[(3n²-3n) + (n³-3n²+2n)]/6 = 19n + 11 --- retirando-se os parênteses, teremos:

[3n²-3n + n³ - 3n² + 2n]/6 = 19n + 11 ---- reduzindo os termos semelhantes no primeiro membro, temos:

[n³ - n]/6 = 19n + 11 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
n³ - n = 6*(19n+11) --- efetuando o produto indicado, temos: 
n³ - n = 114n + 66 ----- passando-se"114n" para o 1º membro, temos:
n³ - n - 114n = 66
n³ - 115n = 66 <--- Agora note isto: só existe um número natural que faz com que esta expressão seja verificada, que é:

n = 11<--- Esta é a resposta , pois para n = 11 iremos ter:

11³ - 115*11 = 66
1.331 - 1.265 = 66
66 = 66 <---- Perfeito. Veja que n = 11 satisfaz plenamente a expressão.

Observação: há outros números que satisfazem à expressão original, porém não são números naturais. O único que é natural e satisfaz é o "11", que é a resposta que demos.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.