Question

UFPA) Um rapaz e uma moça saem de suas casas um ao encontro do outro, caminhando sempre com velocidades respectivamente de 3,6 m/s e 2,7 m/s. Estando a 117 m da moça, em linha reta, o rapaz, ao avistá-la, aciona o seu cronômetro, travando-o apenas no instante em que os dois se encontram. O intervalo de tempo, em segundos, registrado pelo cronômetro vale:
1 ponto
a) 30 s
b) 50 s
c) 80 s
d) 100 s
e) 130 s

Answer 1

O intervalo de tempo em segundos registrado pelo cronômetro vale 130 s. Logo, a alternativa correta é a opção e) 130 s.

Teoria

A função horária da posição é a relação usada para determinar a posição de um móvel em um determinado instante t que descreve linearidade. No caso, a função horária da posição usada é referente ao movimento uniforme, no qual a velocidade é constante.

Cálculo

Em termos matemáticos, a posição é proporcional à posição inicial somada ao produto da velocidade pelo tempo, tal como a equação abaixo:

$\sf S = S_0 + v \cdot t$  

Onde:        

S = posição no instante t (em m);    

S0 = posição inicial (em m);    

v = velocidade (em m/s);    

t = tempo (em s).

Aplicação

Montando as funções

Primeiro, devemos montar as funções das posições de cada indivíduo. Começando, ao acaso, pela do rapaz citado.

Função horária da posição do rapaz

Temos que a velocidade dele é de 3,6 m/s e sua posição inicial é de 117 m. Dessa forma, podemos montar a seguinte função:

$\sf S_{Rapaz} = 117 - \textsf{3,6} \cdot t$

Perceba que a velocidade é negativa, pois é inversamente proporcional à posição em relação ao eixo selecionado.

Função horária da posição da moça

Temos que a velocidade dela é de 2,7 m/s e sua posição inicial é de 0 m. Dessa forma, podemos montar a seguinte função:

$\sf S_{Mo\c{c}a} = 0 - \textsf{2,7} \cdot t$

Perceba que a velocidade tambéem é negativa, pois, assim como a do rapaz, é inversamente proporcional à posição em relação ao eixo selecionado.

Sabendo as funções de seus movimentos e que o cronômetro irá travar quando os dois corpos se encontrarem, ou seja, a diferença entre suas posições for nula, podemos estabelecer a seguinte relação:

$\sf S_{Rapaz} = S_{Mo\c{c}a}$

Substituindo:

$\sf 117 - \textsf{3,6} \cdot t = 0 - \textsf{2,7} \cdot t$

Isolando o primeiro termo:

$\sf 117 = -\textsf{2,7} \cdot t +\textsf{3,6} \cdot t$

Multiplicando:

$\sf 117 = -\textsf{2,7} t +\textsf{3,6} t$

Somando:

$\sf 117 = -\textsf{0,9} t$

Isolando t:

$\sf t = \dfrac{117}{\textsf{0,9}}$

Dividindo:

$\boxed {\sf t = \textsf{130 s}}$

Espero que a resposta seja satisfatória e correta, bons estudos!

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