Question

(Ufop-MG) Seja f: R*em R tal que 2f(x)-f(1/x)=x². Então 2f(2)+f(1/2) é igual a:

a)17
b)4
c)1/4
d)17/4
e)7​

Answer 1

Resposta: Alternativa e) 7

Explicação passo a passo:

A primeira coisa que você deve pensar nesse exercício é o valor de f(2) e f(1/2).

Para isso, vamos substituir o x da função dada por 2, e depois por 1/2.

I) 2f(2) - f(1/2)=4 Perceba que onde era x eu coloquei 2.

II)2f(1/2) -f(2) =1/4 E agora a mesma coisa com o 1/2.

Bom, sendo assim, nós temos duas equações, cada uma com duas variáveis iguais, sendo elas, f(2) e f(1/2). Isso forma o que chamamos de sistema de equação, são duas verdades que coexistem ao mesmo tempo.

Quando isso acontece podemos isolar ambas, conseguindo assim seus resultados!

Para resolver, usaremos o método da substituição que consiste no seguinte:

Para facilitar, chamaremos f(2) de a, e f(1/2) de b.

Então nosso sistema fica assim:

I)2a - b =4

II)2b - a= 1/4 -------- Pegando a segunda equação, vamos isolar o a.

II) **a=2b - 1/4 --------- Agora vamos substituir todas as letras a da primeira equação por isso.

I)2(2b - 1/4) - b = 4

4b - 1/2 -b =4

3b= 4,5

b=1,5

Agora que temos o b, vamos jogar esse valor lá naquela primeira definição de a que isolamos em **

II)a=2(1,5) - 1/4 = 2,75

Então resumindo a ópera, nós temos que a=2,75 e b=1,5

Muito cuidado agora, pois ele não quer saber quanto é a + b, mas sim quanto é 2a + b, o que resulta em 2(2,75) + 1,5 = 5,5 + 1,5 =7