Question

(UFOP)
A) Numa progressão geométrica de termos positivos, o primeiro termo é cinco vezes a razão, e a diferença entre o segundo termo e o primeiro termo vale 30. Calcule a soma dos três primeiros termos.

B) Numa progressão aritmética crescente de quatro termos, a soma do primeiro com o último é 10 e o produto do segundo pelo terceiro é 21. Escreva esta PA.

Answer 1

a)
razão: r
primeiro termo: a1 = 5q
diferença entre o 2° e 1° termos:
 a2 - a1 = 30

$a1q^{n - 1} - a1 = 30 \\ a1[q^{2 - 1} - 1] = 30 \\ a1[q - 1] = 30$

Tirando o valor de a1:
5q[q - 1] = 30
5q² - 5q - 30 = 0 
q² - q - 6 = 0
a = 1, b = - 1, c = - 6
Δ = b² - 4ac
Δ = (- 1)² - 4.1.(- 6) = 1 + 24 = 25
q₁ = - b + √Δ
         2a
q₁ = - (- 1) + √25 = 1 + 5  = 6 = 3
            2.1               2         2
q₂ = - b - √Δ
          2a
q₂ = - (- 1) - √25 = 1 - 5 = - 4 = - 2
            2.1              2         2
Como para essa PG q > 0, então q = 3.
Substituímos este valor para encontrar o primeiro termo:
a1 = 5.3 = 15
A soma dos termos de uma PG é dada por:

$S = \frac{a1(q^{n} - 1)}{q - 1} \\ S_{3} = \frac{15( 3^{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{15.26}{2} = 195$