Question

(UFMS) Considere duas pirâmides regulares, uma quadrangular (a base é um quadrado) e outra triangular (a base é um triângulo equilátero), de mesmo volume e com suas bases inscritas em um círculo de raio R cm, R um número real positivo. Assim, é correto afirmar que
1)
a área da base da pirâmide triangular é cm2.
2)
a área da base da pirâmide quadrangular é 2R2 cm2.
4)
as duas pirâmides têm a mesma altura.
8)
a diagonal do quadrado que é a base da pirâmide quadrangular mede R cm.
16)
se a altura da pirâmide triangular é H cm, então a altura da pirâmide quadrangular é cm.

Answer 1

Algumas alternativas estão incompletas! Colocarei de forma completas:

1) A área da base da pirâmide triangular é $\frac{3 \sqrt{3}.R^2}{4}$ cm².

a (aresta/lado) = R√3

$Ab = \frac{ a^{2}. \sqrt{3}}{4}$

$Ab = \frac{(R \sqrt{3})^2. \sqrt{3}}{4}$

$Ab = \frac{3 \sqrt{3}.R^2}{4}~cm^{2}$

Logo, a alternativa está correta!

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2) A área da base da pirâmide quadrangular é 2R² cm².

$R = \frac{a \sqrt{2} }{2}$

$a = \frac{2R}{ \sqrt{2}}$

$a = \frac{2 \sqrt{2}R}{2}$

$a = R\sqrt{2}$

$Ab' = a^{2}$

$Ab' = (R\sqrt{2})^2$

$Ab' = 2 R^2~cm^2$

Logo, a alternativa está correta!

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4) As duas pirâmides têm a mesma altura.

$V = V' \\ (Ab.H)/3 = (Ab'.h)/3$

$(\frac{3 \sqrt{3}R^2.H}{4})/3 = \frac{2R^2.h}{3}$

$h = \frac{3\sqrt{3}H}{4.2}$

$h = \frac{3\sqrt{3}H}{8}~cm$

As duas pirâmides não possuem a mesma altura. Se possuíssem mesma altura, h = H, o que não aconteceu.

Logo, a alternativa está incorreta!

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8) A diagonal do quadrado que é a base da pirâmide quadrangular mede $\sqrt{2}R ~cm.$

$2 R ~cm$

Sendo $R = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$D = 2.\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$D = a\sqrt{2}$

A diagonal é o diâmetro da circunferência, logo mede: $a\sqrt{2}$

Logo, a alternativa está incorreta!

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16) Se a altura da pirâmide triangular é H cm, então a altura da pirâmide quadrangular é $\frac{3\sqrt{3}H}{8}~cm.$

$V = V' \\ (Ab.H)/3 = (Ab'.h)/3$

$(\frac{3 \sqrt{3}R^2.H}{4})/3 = \frac{2R^2.h}{3}$

$h = \frac{3\sqrt{3}H}{4.2}$

$h = \frac{3\sqrt{3}H}{8}~cm$

Logo, a alternativa está correta!

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Somando as corretas:

1 + 2 + 16 = 19

Portanto, a resposta é 19.