Question

. (Ufms 2020) Em uma empresa de venda de carros, são vendidos três modelos de carros, em três versões diferentes, e o faturamento pode ser escrito na forma matricial 1 2 1 x 0 k 1 1 y 0 . 2k 2 3 z 0                                   Para que o sistema tenha soluções próprias, o valor de k é:

Answer 1

Para que o sistema tenha soluções próprias, o valor de k é -1/2.

Ao resolvermos a multiplicação entre as duas matrizes e igualando à matriz coluna nula, obtemos o seguinte sistema linear:

{-x + 2y + z = 0

{kx + y - z = 0

{2kx + 2y + 3z = 0.

Vamos escalonar esse sistema.

Fazendo L2 ← L2 + k.L1 e L3 ← L3 + 2k.L1: $\left[\begin{array}{ccc}-1&2&1|0\\0&1+2k&-1+k|0\\0&2+4k&3+2k|0\end{array}\right]$.

Fazendo L3 ← L3 - 2.L2: $\left[\begin{array}{ccc}-1&2&1|0\\0&1+2k&-1+k|0\\0&0&5|0\end{array}\right]$.

Assim, temos um novo sistema:

{-x + 2y + z = 0

{(1 + 2k)y + (-1 + k)z = 0

{5z = 0.

Como z = 0, então (1 + 2k)y = 0. Temos duas possibilidades: y = 0 ou 1 + 2k = 0.

Portanto, o valor de k é igual a -1/2.