Question

(Ufms 2020) Às 12 horas, os ponteiros dos minutos e das horas se superpõem, e às 13 horas eles fazem um ângulo de 30 .  Seguindo esse raciocínio, o valor da soma dos ângulos formados às 15h 30min e às 18h 40min é:

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

=> A cada hora o ponteiro das horas "anda" 360° ÷ 12 = 30°.

Assim, a cada minuto, o ponteiro das horas "anda" 30° ÷ 60 = 0,5°

=> Às 15h 30 min, o ponteiro das horas está entre os números 3 e 4 e o ponteiro dos minutos está no número 6. Como já se passaram 30 minutos, o ponteiro das horas "andou" 30 x 0,5° = 15°. Note que entre 3 e 6 há três ângulos de 30°, que juntos valem 3 x 30° = 90°. O ângulo formado é 90° - 15° = 75°.

=> Às 18h 40 min, o ponteiro das horas está ente os números 6 e 7 e o ponteiro dos minutos está no número 8. Já se passaram 40 minutos e o ponteiro das horas "andou" 40 x 0,5° = 20°. Entre 6 e 8 há 2 ângulos de 30°, formando 2 x 30° = 60°. O ângulo formado é 60° - 20° = 40°

=> A soma dos ângulos formados é 75° + 40° = 115°

Answer 2

A soma dos ângulos formados às 15:30 e às 18:40 é 115°

Esta é uma questão sobre ângulos, precisamos entender que é possível formar um ângulo entre os ponteiros, o ângulo menor entre eles, e o ângulo maior. Além disso, é importante lembrar que uma volta completa no relógio equivale a 360°. Então podemos resolver a questão:

Quando o relógio marca 15he 30min, o ponteiro pequeno está na metade entre o 3 e o 4 e o ponteiro grande no 6, então o ângulo menor entre eles é igual a 2,5 partes das 12 partes de um giro completo, logo:

$\alpha = 2,5/12 de 360 = 2,5/12\times 360 = 75\°$

Quando o relógio marca 18he 40min, o ponteiro pequeno está entre o 6 e o 7 e o ponteiro grande no 8. Precisamos encontrar a posição do ponteiro menor. Como passaram 40 minutos dos 60 minutos, então o ponteiro maior percorreu o caminho de 2/3 do total.

$40/60 = 2/3$

Logo, o ponteiro menor também deve ter percorrido 2/3 das 5 linhas pequenas que separam o 6 e o 7, sobrando 1/3 entre o ponteiro menor e o ponto do 7 no relógio. Então o ângulo menor entre eles é igual a 1 parte inteira (distância do 8 ao 7) mais 1/3 de uma parte (distância entre o 7 o ponteiro menor) das 12 partes de um giro completo, logo:

$\beta = \frac{1}{12} de 360+\frac{1}{3} de \frac{1}{2} de360 = \frac{1}{12}\times 360+\frac{1}{3} \times \frac{1}{12} \times 360 = 30\° +10\°=40\°$

Então a soma dos ângulos formados às 15:30 e às 18:40 é:

$\alpha +\beta =75+40=115 \°$