Question

(UFMS/07) Uma luminária cônica circular, de abertura angular de θ graus,
posicionada a 3 metros do chão, com o segmento AO perpendicular ao segmento
AB, projeta uma elipse de luz no chão de eixo maior com 1 m de comprimento,
como ilustrado na figura 1. Se deslocarmos em θ graus a luminária, como ilustrado
na figura 2, qual será o comprimento do eixo maior, em centímetros, da nova elipse
de luz no chão?
(Considere θ = ângulo formado entre os segmentos BO e CO, como nas figuras)

Answer 1

O comprimento do eixo maior da nova elipse será 5/4 metros.

Note que na primeira situação, podemos formar um triângulo retângulo OAB e na segunda situação, juntando as duas projeções, teremos um triângulo retângulo semelhante OAC.

Por semelhança de triângulo, podemos relacionar AB e AC com θ e 2θ, sendo esses ângulos adjacentes ao lado de três metros, logo:

tan(θ) = AB/3

tan(2θ) = AC/3

Sabemos a identidade:

tan(2θ) = 2tan(θ)/(1 - tan²(θ))

Substituindo:

2tan(θ)/(1 - tan²(θ)) = AC/3

2.(1/3)/(1 - tan²(θ)) = AC/3

AC.(1 - tan²(θ)) = 2

AC = 2/(1 - (sen θ/cos θ)²)

Da figura, podemos calcular a hipotenusa do triângulo OAB:

a² = 3² + 1²

a = √10

Assim, o seno e cosseno do ângulo serão:

sen θ = √10/10

cos θ = 3√10/10

Substituindo:

AC = 2/(1 - [(√10/10)/3√10/10]²)

AC = 2/(1 - (1/3)²)

AC = 2/(8/9)

AC = 18/8 = 9/4

Se AC é a soma de AB com x, temos que:

x = AC - AB

x = 9/4 - 1

x = 5/4 m