Question

(UFMG) Sendo $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ para x > 0, o valor de $f(\sqrt{\frac{1}{x}})$ é igual a:
A) $\frac{1}{\sqrt{x}}$
B) $\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$
C) $\sqrt[4]{x}$
D) $\sqrt{x}$
E) $\frac{1}{x}$

Respostas com explicação completa, por favor.

Answer 1

Olá.

Antes de iniciarmos a calcular, devemos estar cientes de 4 propriedade de potências.
$\Large{\left\{\begin{array}{cccc}\mathsf{1^{\circ}:}&\mathsf{\sqrt[s]{\mathsf{m^r}}}&=&\mathsf{m^{\frac{r}{s}}}\\\\\mathsf{2^{\circ}:}&\mathsf{m^{-1}}&=&\mathsf{\dfrac{1}{m}}\\\\\mathsf{3^{\circ}:}&\mathsf{(m^r)^s}&=&\mathsf{m^{r\cdot s}}\\\\\mathsf{4^{\circ}:}&\mathsf{\sqrt{\dfrac{m}{n}}}&=&\mathsf{\dfrac{\sqrt m}{\sqrt n}}\end{array}$

Obs.: Fonte grande pra ficar visível o índice.

Primeiramente, temos que simplificar a função de x de uma forma fácil. Para isso, usaremos a 1ª e a 2ª propriedades de potência citadas acima.
$\Large\begin{array}{c}\mathsf{f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[2]{\mathsf{x}}}=\dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=x^{-\frac{1}{2}}}\end{array}\\\\\\\\\\ \Large\begin{array}{c}\boxed{\mathsf{f(x)=x^{-\frac{1}{2}}}}\end{array}$

Agora, trocaremos o x da função dada dentro da raiz pela que encontramos anteriormente. Agora aplicaremos a 3ª e a 4ª propriedade resolveremos.
$\Large\begin{array}{c}f\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)=\sqrt{\dfrac{1}{(x^{-\frac{1}{2}})} \end{array}\\\\\\ \Large\begin{array}{c}f\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)=\dfrac{\sqrt1}{\sqrt{\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)}} \end{array}\\\\\\ \Large\begin{array}{c}f\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)=\dfrac{1}{\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}} \end{array}\\\\\\ \Large\begin{array}{c}f\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)=\dfrac{1}{x^{-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}} \end{array}$

$\Large\begin{array}{c}f\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)=\dfrac{1}{x^{-\frac{1}{4}}} \end{array}\\\\\\ \Large\begin{array}{c}f\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)=\dfrac{1}{\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}}\end{array}\\\\\\ \Large\begin{array}{c}f\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)=1\cdot\dfrac{x^{\frac{1}{4}}}{1}\end{array}\\\\\\ \Large\begin{array}{c}f\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)=x^{\frac{1}{4}\end{array}\\\\\\ \Large\begin{array}{c}f\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)=\boxed{\sqrt[4]{x}}\end{array}$

A resposta é a alternativa C.

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Bons estudos.