Question

(UFMG) Se z = (cos q + i senq) é um número complexo na forma trigonométrica, mostra-se que zn = rn(cos q + i sen nq) para todo n Î IN. Essa fórmula é conhecida como fórmula de De Moivre.A) Demonstre a fórmula de De Moivre para n = 2, ou seja, demonstre que z2 = r2(cos 2q + i sen 2q).B) Determine todos os valores de n, n Є IN, para os quais (√3 + i)n seja imaginário puro.

Answer 1

Olá, boa noite. Vou tentar lhe ajudar:

z= r (cos x + i sin r) 

$z^{n} = r^{n} (cos x + i sin x)^{n}$

Aqui estão as séries de McLaurin:

cos x = ∑∞, n= 0 (-1)$^{n}/(2n + 1)!$ $x^{2n}$/

As funções hiperbólicas: 

sinh x= ∑∞, n= 0 $x^{2n +1}$/(2n + 1)!
cosh x= ∑∞, n= 0 $x^{2 n}$/ (2n)!

Também:
sinh x= $e^{x}$ - $e^{- x}$/2 ∧ cosh x = $e^{x} + e^{- x}$/2

Por isso:
sinh (ix) = $e^{ix} - e^{-ix}$/2 ∧ cosh (ix) = $e^{ix} + e^{-ix}$/2
$e^{ix}$ = sinh (ix) + cosh (ix)

sin (ix) = ∑∞, n= 0 (ix)$^{2n +1}$/ (2n + 1)! = ∑∞, n = 0 (-1)$^{n}$/ (2 n + 1)!  $x^{2n + 1} i = i sin x$
cosh (ix) = ∑∞, n = 0 (ix)$^{2n}$/ (2n)! = ∑∞, n = 0 (-1)$^{n}$/(2n)! $x^{2n}$ = cos x

Em seguida:
cos x + i sin x = $e^{ix}$
(cos x + i sin x)$^{n}$ = ($e^{ix}$)$^{n}$
(cos x +  i sin x)$^{n}$ = $e^i{(nx)}$
(cos x + i sin x)$^{n}$ = cos (nx) + i sin (nx)