(UFMG) Se z = (cos q + i senq) é um número complexo na forma trigonométrica, mostra-se que zn = rn(cos q + i sen nq) para todo n Î IN. Essa fórmula é conhecida como fórmula de De Moivre.A) Demonstre a fórmula de De Moivre para n = 2, ou seja, demonstre que z2 = r2(cos 2q + i sen 2q).B) Determine todos os valores de n, n Є IN, para os quais (√3 + i)n seja imaginário puro.
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Olá, boa noite. Vou tentar lhe ajudar:
z= r (cos x + i sin r)
Aqui estão as séries de McLaurin:
cos x = ∑∞, n= 0 (-1) /
As funções hiperbólicas:
sinh x= ∑∞, n= 0 /(2n + 1)!
cosh x= ∑∞, n= 0 / (2n)!
Também:
sinh x= - /2 ∧ cosh x = /2
Por isso:
sinh (ix) = /2 ∧ cosh (ix) = /2
= sinh (ix) + cosh (ix)
sin (ix) = ∑∞, n= 0 (ix)/ (2n + 1)! = ∑∞, n = 0 (-1)/ (2 n + 1)!
cosh (ix) = ∑∞, n = 0 (ix)/ (2n)! = ∑∞, n = 0 (-1)/(2n)! = cos x
Em seguida:
cos x + i sin x =
(cos x + i sin x) = ()
(cos x + i sin x) =
(cos x + i sin x) = cos (nx) + i sin (nx)
z= r (cos x + i sin r)
Aqui estão as séries de McLaurin:
cos x = ∑∞, n= 0 (-1) /
As funções hiperbólicas:
sinh x= ∑∞, n= 0 /(2n + 1)!
cosh x= ∑∞, n= 0 / (2n)!
Também:
sinh x= - /2 ∧ cosh x = /2
Por isso:
sinh (ix) = /2 ∧ cosh (ix) = /2
= sinh (ix) + cosh (ix)
sin (ix) = ∑∞, n= 0 (ix)/ (2n + 1)! = ∑∞, n = 0 (-1)/ (2 n + 1)!
cosh (ix) = ∑∞, n = 0 (ix)/ (2n)! = ∑∞, n = 0 (-1)/(2n)! = cos x
Em seguida:
cos x + i sin x =
(cos x + i sin x) = ()
(cos x + i sin x) =
(cos x + i sin x) = cos (nx) + i sin (nx)
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