Question

(UFMG) Se z = (cos q + i senq) é um número complexo na forma trigonométrica, mostra-se que zn = rn(cos q + i sen nq) para todo n Î IN. Essa fórmula é conhecida como fórmula de De Moivre.
A) Demonstre a fórmula de De Moivre para n = 2, ou seja, demonstre que z2 = r2(cos 2q + i sen 2q).
B) Determine todos os valores de n, n Є IN, para os quais (√3 + i)n seja imaginário puro.

Answer 1

$z=r(\cos x+i\sin x)$

$z^n=r^n(\cos x+i\sin x)^n$

Recordemos las series de McLaurin

$\displaystyle \cos x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}$

$\displaystyle \sin x =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

También de las funciones hiperbólicas

$\displaystyle \sinh x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\displaystyle \cosh x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Además

$\sinh x =\frac{e^x-e^{-x}}{2} \wedge \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

Por ello

$\sinh (ix) =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2} \wedge \cosh (ix)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$e^{ix} = \sinh (ix)+\cosh (ix)$

===========

$\displaystyle \sinh (ix)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n }{(2n+1)!}x^{2n+1}i=i\sin x$

$\displaystyle \cosh (ix)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^{2n}}{(2n)!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=\cos x$

entonces

$\cos x + i\sin x= e^{ix} \\ \\ (\cos x + i\sin x)^n=(e^{ix})^n\\ \\ (\cos x + i\sin x)^n=e^{i(nx)}\\ \\ \Large\boxed{(\cos x + i\sin x)^n=\cos (nx) + i\sin (nx)}$