Question

(UFMG) O produto das raízes da equação

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Equação exponencial :

Dada a Equação :

$\mathsf{3^x+\dfrac{1}{3^x}~=~\dfrac{4\sqrt{3}}{3} }$

Vamos multiplicar toda Equação por $\mathsf{3^x}$

$\mathsf{3^x.3^x+\cancel{3^x}.\dfrac{1}{\cancel{3^x}}~=~3^x.\dfrac{4\sqrt{3}}{3} }$

$\mathsf{\Big(3^x\Big)^2-3^x.\dfrac{4\sqrt{3}}{3}+1~=~0 }$

Seja : $\mathsf{3^x~=~k }$

$\mathsf{\red{k^2-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}k+1~=~0 }}$

$\mathsf{Coeficientes:}\begin{cases} a~=~1 \\ \\ b~=~-\dfrac{4\sqrt{3}}{3} \\ \\ c~=~1 \end{cases}$

$\mathsf{\Delta~=~b^3-4ac }$

$\mathsf{\Delta~=~\Big(-\dfrac{4\sqrt{3}}{3} \Big)^2-4.1.1 }$

$\mathsf { \Delta~=~\dfrac{16.\cancel{3}}{\cancel{9}}-4 }$

$\mathsf{\Delta~=~\dfrac{16}{3}-4~=~\dfrac{16-12}{3} }$

$\mathsf{{\color{blue}{\Delta~=~\dfrac{4}{3} }} }$

$\boxed{\mathsf{k~=~\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} }}}}$

$\mathsf{k_{1}~=~\dfrac{\frac{4\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3} }{2}~=~\dfrac{\frac{6\sqrt{3}}{3}}{2}~=~\dfrac{2\sqrt{3}}{2} }$

$\mathsf{\red{k_{1}~=~\sqrt{3}} }$

$\mathsf{k_{2}~=~\dfrac{\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3} }{2}~=~\dfrac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2}~=~\dfrac{\cancel{2}\sqrt{3}}{3}.\dfrac{1}{\cancel{2}} }$

$\mathsf{\red{k_{2}~=~\dfrac{\sqrt{3}}{3}} }$

------------------------------------------------------------------------

Lembremos que :

$\mathsf{3^x~=~k }$

Então teremos que :

$\mathsf{3^x~=~k_{1} }$

$\mathsf{3^x~=~\sqrt{3} }$

$\mathsf{\cancel{3}^x~=~\cancel{3}^{\frac{1}{2}} }$

$\boxed{\mathsf{x_{1}~=~\dfrac{1}{2} }}}}$

$\mathsf{3^x~=~k_{2} }$

$\mathsf{3^x~=~\dfrac{\sqrt{3}}{3} }$

$\mathsf{\cancel{3}^x~=~\cancel{3}^{\frac{1}{2}-1} }$

$\boxed{\mathsf{x_{2}~=~-\dfrac{1}{2} }}}}$

------------------------------------------------------------------------

Logo o produto das raízes será :

$\mathsf{\red{P~=~x_{1}.x_{2} } }$

$\mathsf{P~=~\dfrac{1}{2}.\Big(-\dfrac{1}{2} \Big) }$

$\boxed{\boxed{\mathsf{P~=~-\dfrac{1}{4} } }}}}$$\checkmark$

Espero ter ajudado bastante!)