Question

(UFMG) Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, o gráfico da função de segundo grau cuja expressão é :

a) y=(x2/5)-2x
b) y=x2-10x
C)y=x2+10x
d)y=(x2/5)-10x
e)y=(x2/5)+10x

Me expliquem por favor

Answer 1

observando o gráfico temos que C = 0 já que a parábola toca y na origem.

o vértice marca a metade da parábola, então, se do 0 até o 5 chegamos na metade, devemos andar exatamente isso pra chegar a outra metade(ponto em que a reta toca o eixo x), ou seja, 5 + 5 = 10.

Temos os 2 pontos que a parábola toca em x, que são 0 e 10 e são as raízes da equação.

Agora vamos descobrir o valor de a através  do vértice (5, -5)

a lei de formação do polinomio do segundo grau é
y = a(x-x')(x-x")

eu sei x' = 0 e x" = 10
também sei que quando x = 5, y = -5, agora basta substituir e descobrir o valor de a:
-5 = a(5-0)(5-10)
-25a = - 5
a = 1/5

agora basta fazer na lei de formação a(x-x')(x-x"), substituindo somente as raízes:

1/5(x-0)(x-10)
(x² -10x)/5
x²/5 - 10x/5

= (x²/5) - 2x
letra A

Espero ter ajudado : ]

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Francielle, que a resolução é simples, embora apenas um pouquinho trabalhosa.

Note que uma equação do 2º grau é aquela da forma: f(x) = ax² + bx + c.

Verifica-se, pelo gráfico apresentado, que o "x" do vértice da parábola é igual a "5" e o "y" do vértice é igual a "-5".
Verifica-se também que, como uma parte do gráfico (parábola) passa exatamente na origem, então uma das raízes será igual a "0" (digamos que temos que x' = 0. Só não sabemos qual é a outra raiz (x''), que é onde a outra parte do gráfico corta o eixo dos "x").
Mas vamos trabalhar com o que temos, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) f(x) = ax² + bx + c

i.a) Note que o "x" do vértice (xv) é encontrado com a utilização da seguinte fóurmula:

xv = -b/2a ------ como "xv" = 5, então substituindo, teremos;
5 = -b/2a --- multiplicando-se em cruz, teremos:
2a*5 = - b
10a = - b ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos;
- 10a = b --- vamos apenas inverter, ficando:
b = - 10a      . (I)

i.b) o "y" do vértice (yv), por sua vez, é encontrado com a utilização da seguinte fórmula:

yv = - (b² - 4ac)/4a ---- como "yv" = - 5 , teremos:
-5 = - (b² - 4ac)/4a ---- multiplicando-se em cruz, termos:
4a*(-5) = - (b² - 4ac)
- 20a = - (b² - 4ac) --- retirando-se os parênteses do 2º membro, teremos:
- 20a = - b² + 4ac ----- para facilitar, vamos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos:

20a = b² - 4ac    . (II)

i.c) Mas como já vimos, conforme a expressão (I),  que "b" = - 10a, então vamos na expressão (II) acima e vamos substituir "b" por "-10a".
Vamos repetir a expressão (II), que é esta:

20a = b² - 4ac ---- substituindo-se "b" por "-10a", teremos:
20a = (-10a)² - 4ac
20a = 100a² - 4ac ---- dividindo-se ambos os membros por "a", ficaremos apenas com:

20 = 100a - 4c ---- vamos passar "-4c" para o 1º membro e vamos passar "20" para o 2º membro, ficando assim:

4c = 100a - 20 --- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "4", com o que ficaremos apenas com:

c = 25a - 5     . (III)

i.d) Como já vimos que uma das raízes é igual a "0", então vamos substituir, na expressão original [f(x) = ax² + bx + c], o "x" por "0" e vamos substituir f(x) também por zero, pois toda raiz zera a equação da qual ela é raiz.
Repetindo a expressão original, teremos:

f(x) = ax² + bx + c ---- substituindo-se f(x) e "x" por "0", teremos:
0 = a*0² + b*0 + c
0 = a*0 + b*0 + c ----- ou apenas:
0 = 0 + 0 + c
0 = c --- ou, invertendo-se:
c = 0 <--- Este será o valor do termo "c", que é o termo independente da função original [f(x) = ax² + bx + c].

i.e) Agora vamos na expressão (III), que é esta:

c = 25a - 5 ---- como já vimos que c = 0, então vamos substituir. Assim:
0 = 25a - 5 --- passando "-5" para o 1º membro, teremos:
5 = 25a --- vamos apenas inverter, ficando:
25a = 5
a = 5/25 --- simplificando-se tudo por "5", ficaremos apenas com:
a = 1/5 <--- Este é o valor do termo "a" da função original [f(x) = ax²+bx+c]

i.f) Agora vamos na expressão (I), que é esta:

b = - 10a ---- como já vimos que "a" = 1/5, então vamos substituir. Assim:
b = - 10*(1/5)
b = -10*1/5
b = -10/5
b = - 2 <--- Este é o valor do termo "b" da função original [f(x) = ax²+bx+c].

ii) Como já vimos que a = - 1/5; que b = - 2 e que c = 0, então vamos na função original, que é esta:

f(x) = ax² + bx + c ---- substituindo-se "a" por "1/5", "b" por "-2" e "c" por "0", teremos:

f(x) = (1/5)*x² - 2x + 0 --- ou , o que é a mesma coisa:
f(x) = 1*x²/5 - 2x --- ou ainda, o que também é a mesma coisa:
f(x) = (x²/5) - 2x <--- Esta é a resposta. Opção "a". Ou seja, esta é a expressão da função do 2º grau que tem o gráfico apresentado.

Por mera curiosidade, note que se você fosse encontrar as raízes da função que acabamos de encontrar [f(x) = (x²/5) - 2x] iria encontrar que a outra raiz seria: x'' = 10 (pois uma já sabíamos que era igual a "0", ou seja: x' = 0). Assim, se quiséssemos encontrar as duas raízes, teríamos que: x' = 0 e x'' = 10.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.