Question

(UFMG) Fatorando a expressão x^4-y^4+2x^3y-2xy^3 Obtém-se:
a) (x+y)² . (x-y)²
b) (x+y) . (x-y)³
c) (x²+y²) . (x-y)²
d) (x+y)^4
e) (x+y)^3 . (x-y

Answer 1

 Fatorando a expressão x^4-y^4+2x^3y-2xy^3 Obtém-se:
x⁴ - y⁴ + 2x³y - 2xy³ 

(x + y)³ . ( x - y)

                                        (x + y)³  .(x - y) = 
                       (x + y)(x + y)(x + y) .(x - y) fazer POR parte
               (x + y)(x² +xy + xy + y²)  .(x - y)
                 (x + y) (x² + 2xy + y²)     .(x - y)
 (x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy²  + y³)  .(x - y) 
(x³ + 2x²y + x²y + xy² + 2xy² + y³)    .(x - y)
(x³         + 3x²y          + 3xy²  + y³)  . ( x - y)
 
                  (x³ + 3x²y + 3xy² + y³)  . ( x - y)


                  (x³ + 3x²y + 3xy²+ y³)  . ( x - y)
                  x⁴ - x³y + 3x³y - 3x²y² + 3x²y² - 3xy³ + xy³ - y⁴
                  x⁴       + 2x³y            0               - 2xy³     - y⁴
 
                 x⁴ + 2x³y - 2xy² - y⁴

então
x⁴ + 2x³y - 2xy³ - y⁴ =
x⁴ - y⁴ + 2x³y - 2xy³

ASSIM

x⁴ - y⁴ + 2x³y - 2xy³  = (x + y)³ .(x - y)


a) (x+y)² . (x-y)²
b) (x+y) . (x-y)³
c) (x²+y²) . (x-y)²
d) (x+y)^4
e) (x+y)^3 . (x-y)  resposta (letra (e))


REFAZENDO PASSO A PASSO

Obrigado pela resposta, mas vc sabe me explicar desse jeito?

x^{4} -y^{4} +2x³y -2xy³

vamos SABER QUEM É???? (X⁴ - Y⁴)
1º)  x⁴ - y⁴ =
(x² - y²)(x² + y²)

QUEM É (x² - y²)????
2º) (X² - Y²)
(x² - y²) = 
(x - y)(x + y)

QUEM É (x² +y²)????
3º) (X² + Y²)
(x² + y²) = (x +y)²
QUEM É (x + y)²
(x + y)² =
( x + y)(x + y)

então
x⁴ - y⁴ = quem é?????? JUNTAMOS todos ACIMA
1º) = x⁴ - y₄ = (x² - y²)(x² + y²) 
2º)  = (x² - y²)  = (x - y)(x + y)
3º) = (x² + y²) =( x + y)(x + y)



SOMENTE E juntando SÓ O (x⁴ - y⁴)
x⁴ - y⁴ = (x - y)(x +y)(x + y)(x + y) REPARA que tem 3(três) desse (x + y)
              (x - y) (x + y)³

SOMENTE FIZEMOS o (x⁴ - y⁴)

assim
x⁴ - y⁴ = (x + y)³ .(x - y)
x⁴ - y⁴ + 2xy³ - 2xy³ = (x + y)³ .(x - y) 

como VOCÊ CHEGOU nesse RESULTADO e para TER a certeza do ( + 2x²y - 2xy³)
TEM que desmembrar 
                       (x + y)³  .(x - y) = 
                       (x + y)(x + y)(x + y) .(x - y) fazer POR parte
               (x + y)(x² +xy + xy + y²)  .(x - y)
                 (x + y) (x² + 2xy + y²)     .(x - y)
 (x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy²  + y³)  .(x - y) 
(x³ + 2x²y + x²y + xy² + 2xy² + y³)    .(x - y)
(x³         + 3x²y          + 3xy²  + y³)  . ( x - y)
 
                  (x³ + 3x²y + 3xy² + y³)  . ( x - y)


                  (x³ + 3x²y + 3xy²+ y³)  . ( x - y)
                  x⁴ - x³y + 3x³y - 3x²y² + 3x²y² - 3xy³ + xy³ - y⁴
                  x⁴       + 2x³y            0               - 2xy³     - y⁴
 
                 x⁴ + 2x³y - 2xy² - y⁴

então
x⁴ + 2x³y - 2xy³ - y⁴ =
x⁴ - y⁴ + 2x³y - 2xy³

ASSIM

x⁴ - y⁴ + 2x³y - 2xy³  = (x + y)³ .(x - y)

Answer 2

(x4 - y4)+ 2xy(x² - y²)
[(x²)² - (y²)²] + 2xy(x² - y²)
(x² + y²)(x² - y²) + 2xy(x² - y²)
(x² - y²)(x² + y² + 2xy)
(x + y)(x - y)(x + y)²
(X + y)³(x -y)
Resposta:(x + y)³(x -y)