Question

(UFMG) A função f(X) do segundo grau tem raízes -3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), é igual a 8. A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(X) é:

a) F(x) = -2 (x - 1) (x + 3)
b) F(x) = -(x - 1) (x + 3)
c) F(x) = -2 (x + 1) (x - 3)
d) F(x) = (x - 1) (x + 3)
e) F(x) = 2 (x + 1) (x - 3)

Answer 1

Sabe-se que x₁ = -3, x₂ = 1 e que Yv = 8. 
Tomando a forma genérica: f(x) = a(x-x₁)(x-x₂), deve-se substituir os valores das raízes. Logo:
f(x) = a(x-(-3))(x-1)
f(x) = a(x+3)(x-1)
f(x) = a(x²-x+3x-3)
f(x) = a(x²+2x-3)
f(x) = ax²+2ax-3a
Resta saber qual o valor de a. Para isso, utilizaremos a fórmula da ordenada do vértice:
Yv = -Δ/4a
Sabe-se também que Δ = b² - 4.a.c
Nesse caso, Δ= (2a)² - 4.(a).(-3a) = 4a² + 12a² = 16a²
Substituindo os valores de Yv e Δ, tem-se:
8 = -(16a²)/4a
8 = -16a/4
8.4 = -16a
32 = -16a
a = 32/-16
a = -2

∴  f(x) = a(x-x₁)(x-x₂) = -2(x+3)(x-1) ou -2(x-1)(x+3)
Alternativa a. 

 

Answer 2

Oi! Tudo bem contigo, Little flower ou little cactus?

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Para resolver essa questão é necessário saber a estrutura de uma função do segundo grau, a qual é:   Y = a · (x - x¹) · (x - x²)

Agora, basta substituir pelos valores dados no enunciado.

Quando se diz que uma equação do segundo grau "tem raízes -3 e 1", significa que o x¹ e o x² são, respectivamente, -3 e 1. Então...

                                        Y = a · (x - (-3)) · (x - 1)

                                        Y = a · (x + 3) · (x - 1)

                                        Y = a · (x² -x +3x -3)

                                        Y = a · (x² +2x -3)

                                        Y = ax² +2ax -3a

→ Agora, precisamos achar o valor de a, não é mesmo? E, para isso, precisamos de uma fórmula (para falar a verdade, dentro dessa fórmula há outra chamada de Delta), a qual é:   Yv = $\frac{- delta}{4a}$

E a fórmula de Delta (Δ) é:  Δ = b² - 4 · a · c

(Poxa, ClariAjuda, são muitas letras! Como vou saber a qual número elas estão se referindo?)

Bem fácil! Toda equação de segundo grau é composta da seguinte forma:

Y = ax² + bx +c

Agora, lendo-a:

Y é igual a um número ligado a x que está elevado ao quadrado, mais um número que é ligado a x (mas, não elevado ao quadrado), mais um número que não é ligado a x e a nada (chamado de termo independente).

Agora que você já sabe a qual cada um se refere, precisamos encontrá-los naquela equação lá de cima, lembra? Y = ax² +2ax -3a

a = a → que está ligado à x elevado ao quadrado.

b = 2a → que está ligado a x.

c = -3a → termo independente.

Agora, substitua na fórmula de Delta e resolva-a para depois substituir na do Y do vértice (Yv).

Δ = (2a)² - 4 · a · (-3a)                                        Yv = $\frac{- (16a^2)}{4a}$

Δ = 4a² -4a · (-3a)                                              Yv = -4a

Δ = 4a² + 12a²          | Agora, na do Yv |

Δ = 16a²

Como sabemos que A ordenada do vértice (Yv) é igual a 8, é só continuar na fórmula do Yv substituindo-o por 8.

Yv = -4a

8 = -4a

8 : (-4) = a

-2 = a → | a = -2 |

Achamos o valor do "a". Uhuuul! Agora é só substituir na estrutura de uma função do segundo grau.

(Misericórdia, é muita substituição nesse troço, né?)

Kkkkkkkk. Pois é. Vamos lá? Vamos.

Y = a · (x - x¹) · (x - x²)

Y = -2 · (x - (-3)) · (x - 1)

Y = -2 · (x + 3) · (x - 1)

Dessa forma, acabamos de encontrar a resposta. Amém! Que no caso, seria a alternativa:  a)

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Espero ter ajudado, beijos e bons estudos ^^

<3