Question

(UFMG–2006) Sejam N um número natural de dois algarismos não nulos e M o número obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Sabe-se que N – M = 45. Então, quantos são os possíveis valores de N?
Gabarito: 4

Answer 1

Veja que:

$25=2\times10+5$

Assim, sendo $\text{A}$ o algarismo das dezenas e $\text{B}$ o das unidades de $\text{N}$, temos $\text{N}=10\text{A}+\text{B}$.

Invertendo a ordem dos algarismos de $\text{N}$, obtemos $\text{M}=10\text{B}+\text{A}$

Como $\text{N}-\text{M}=45$, temos que:

$10\text{A}+\text{B}-10\text{B}-\text{A}=45$

$9\text{A}-9\text{B}=45$

Simplificando por $9$:

$\dfrac{9\text{A}}{9}-\dfrac{9\text{B}}{9}=\dfrac{45}{9}$

$\text{A}-\text{B}=5$

$\text{A}=\text{B}+5$

Mas, $\text{A}$ e $\text{B}$ são algarismos não nulos.

Desse modo, $\text{B}$ pode ser no máximo igual a $4$, pois se $\text{B}=5$, teríamos $\text{A}=10$ (pode ser no máximo $9$, pois é um algarismo).

Assim, temos $4$ possibilidades para $\text{B}$:

$\bullet~~\text{B}=1~\longrightarrow~\text{A}=6~\longrightarrow~\text{N}=61$

$\bullet~~\text{B}=2~\longrightarrow~\text{A}=7~\longrightarrow~\text{N}=72$

$\bullet~~\text{B}=3~\longrightarrow~\text{A}=8~\longrightarrow~\text{N}=83$

$\bullet~~\text{B}=4~\longrightarrow~\text{A}=9~\longrightarrow~\text{N}=94$

Portanto, a resposta é $4$.

Answer 2

Existem 4 possíveis valores de N: 61, 72, 83 e 94.

Vamos considerar que N = xy. De acordo com o enunciado, o número M é M = yx.

Além disso, temos a informação de que a subtração N - M é igual a 45, ou seja, xy - yx = 45.

Observe que podemos escrever essa subtração da seguinte forma:

(10x + y) - (10y + x) = 45

10x + y - 10y - x = 45

9x - 9y = 45.

Colocando o 9 em evidência:

9(x - y) = 45

x - y = 5.

Os valores x e y são naturais não nulos. Então, temos as seguintes possibilidades:

Se x = 6, então y = 1;

Se x = 7, então y = 2;

Se x = 8, então y = 3;

Se x = 9, então y = 4.

Veja que essas são as únicas possibilidades. Portanto, podemos concluir que existem quatro possíveis valores para N. São eles: 61, 72, 83 e 94.

Para mais informações sobre números naturais: https://brainly.com.br/tarefa/19458668