Question

(Ufmg 2006) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada.
Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão?
a) 70
b) 35
c) 45
d) 55

Answer 1

Boa tarde

Solução 1

C8,4 - C6,4 =70 - 15 = 55      [  resposta :  letra d  ]

C8,4  → todas as comissões possíveis com 4 integrantes escolhidos entre  8

C6,4 →comissões possíveis incluindo Danilo e Gustavo.

Solução 2

a) C6,3 =20  →comissões com Danilo e sem Gustavo

b)  C6,3 =20 →comissões com Gustavo e sem Danilo

c)  C6,4 =15  →comissões sem Danilo e sem Gustavo

temos então  C6,3+C6,3+C6,4=20+20+15 = 55  [ resposta letra  d ] 

Answer 2

Pode-se formar essa comissão de 55 maneiras distintas.

Perceba que a quantidade de comissões em que Gustavo e Danilo não estão juntos é igual a quantidade total menos o total em que eles estão juntos.

Como estamos formando comissões, então a ordem da escolha não é importante. Então, utilizaremos a fórmula da Combinação: $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Primeiramente, vamos definir a quantidade total de comissões com 4 pessoas que podemos formar com as 8 pessoas disponíveis:

$C(8,4)=\frac{8!}{4!4!}$

C(8,4) = 70.

Agora, vamos calcular a quantidade de comissões em que Gustavo e Danilo estão juntos. Sendo assim, precisamos escolher mais duas pessoas entre as 6 disponíveis:

$C(6,2)=\frac{6!}{2!4!}$

C(6,2) = 15.

Portanto, o total de comissões em que os dois não estão juntos é igual a 70 - 15 = 55.

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