Question

(UFLA-MG) O valor da expressão numérica dada por(a expressão está em anexo!) é um número inteiro. Determine esse número.PS.: Esse é um exercício de Logarítmo. Fiquei em dúvida em relação ao desenvolvimento da conta. O valor de x = 17. Por gentiliza, alguém poderia desenvolver os cálculos para eu ver onde estou errando?  

Answer 1

$(10+4 \sqrt{2})\log_2{[\frac{2^2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}}]}$

Primeiro resolvemos o produto da soma pela diferença:

$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)$

Onde $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Assim:

$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$

Agora, substituímos o resultado na expressão:

$(10+4 \sqrt{2})\log_2{[\frac{2^2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}}]}$

$(10+4 \sqrt{2})\log_2{(\frac{2^2.2}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}})}$

$(10+4 \sqrt{2})\log_2{(\frac{2^2.2^1}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}})}$

$(10+4 \sqrt{2})\log_2{(\frac{2^3}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}})}$

Pela propriedade do logarítimo $\log{\frac{a}{b}}=\log{a}-\log{b}$. Fazemos:

$(10+4 \sqrt{2})\log_2{(\frac{2^3}{2^{\sqrt{2}}\sqrt{2}})}$

$(10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-\log_2{(2^{\sqrt{2}}.\sqrt{2})})$

Pela propriedade do logarítimo $\log{a.b}=\log{a}+\log{b}$. Fazemos:

$(10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-(\log_2{2^{\sqrt{2}}}+\log_2{\sqrt{2}})$

$(10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-\log_2{2^{\sqrt{2}}}-\log_2{\sqrt{2}})$

Sabemos que $\sqrt{2}=\sqrt[2]{2^1}=2^{\frac{1}{2}}$. Então substituímos na expressão dentro do logarítimo:

$(10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-\log_2{2^{\sqrt{2}}}-\log_2{\sqrt{2}})$

$(10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-\log_2{2^{\sqrt{2}}}-\log_2{2^{\frac{1}{2}}})$

Pela propriedade do logarítimo $\log{a^b}=b.\log{a}$. Fazemos:

$(10+4 \sqrt{2})(\log_2{2^3}-\log_2{2^{\sqrt{2}}}-\log_2{2^{\frac{1}{2}}})$

$(10+4 \sqrt{2})(3.\log_2{2}-\sqrt{2}.\log_2{2}-\frac{1}{2}.\log_2{2})$

Pela propriedade do logarítimo $\log_a{a}=1$. Fazemos:

$(10+4 \sqrt{2})(3.\log_2{2}-\sqrt{2}.\log_2{2}-\frac{1}{2}.\log_2{2})$

$(10+4 \sqrt{2})(3.1-\sqrt{2}.1-\frac{1}{2}.1)$

$(10+4 \sqrt{2})(3-\sqrt{2}-\frac{1}{2})$

Agora basta simplificar. Assim:

$(10+4 \sqrt{2})(\frac{2.3-2.\sqrt{2}-1}{2})$

$(10+4 \sqrt{2})(\frac{6-1-2\sqrt{2}}{2})$

$(10+4 \sqrt{2})(\frac{5-2\sqrt{2}}{2})$

$(2.5+2.2\sqrt{2})(\frac{5-2\sqrt{2}}{2})$

$2.(5+2\sqrt{2})(\frac{5-2\sqrt{2}}{2})$

Resolvendo o produto da soma pela diferença $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Assim:

$2.(5+2\sqrt{2})\frac{(5-2\sqrt{2})}{2}$

$2.\frac{[5^2-(2\sqrt{2})^2]}{2}$

$\frac{2}{2}.[25-2^2(\sqrt{2})^2]$

$1.(25-4.2)$

$25-8$

$17$