Question

(UFJF - adaptada) Se 2i é raiz de x4 + x3 + 2x2 + 4x – 8 = 0, em que i é a unidade imaginária, então, é correto afirmar, a respeito das raízes dessa equação, que
Escolha uma:
a. nenhuma das quatro raízes é real.
b. as outras três raízes são reais.
c. a soma das quatro raízes vale 1.
d. nenhuma de suas raízes é inteira.
e. a soma de duas de suas raízes vale -1.

Answer 1

A resolução deu muito comprida. Usei o processo de briot rufini, para reduzir o grau do polinômio até segundo grau. Sabendo que se 2i é raiz, -2i também é.
A resposta deu "e"

Answer 2

Seria recomendado nesse caso fatorarmos a equação por meio dos divisores inteiros do termo independente.Então vamos lá. O termo independente é o -8 e seus divisores inteiros são : -1,1,-2,2,-4,4,-8,8 Vamos ver se algum desses divisores é raiz da equação. Testando com -1: 1+(-1)+2+4-8=6-8=-2 Então, -1 não é raiz. Testando com o 1: 1+1+2+4-8=8-8=0 Logo,1 é raiz e a equação será divisível por x-1. Dividindo a equação por x-1: x^4+x^3+2x^2+4x-8 |x-1 -x^4+x^3 x^3+2x^2+4x+8 ----------- 2x^3+2x^2+4x-8 -2x^3+2x^2 ----------------- 4x^2+4x-8 -4x^2+4x ------------- 8x-8 -8x+8 --------- (0) Daí, x^4+x^3+2x^2+4x-8= (x^3+2x^2+4x+8)*(x-1) Agora,vamos fatorar x^3+2x^2+4x+8. Colocando x^2 em evidência em x^3+2x^2 e 4 em 4x+8: x^2(x+2)+4(x+2) Realizando fatoração por agrupamento: (x^2+4)*(x+2) Para calcular a raiz deste polinômio,já que se trata de um produto de binômios,basta igualar a zero cada binômio: x+2=0 x=-2 x^2+4=0 x^2=-4 x=2i (o que confere com a informação da questão) ou x=-2i Daí,as raízes de x^4+x^3+2x^2+4x-8 são -2i, 2i,1 e -2. Analisando os itens: a)Falso,pois -2 e 1 são reais. b)Falso,pois -2i é complexo. c)Falso,pois -2i+2i+1-2=-1 d)Falso,pois 1 e -2 são inteiros. e)Verdadeiro,pois -2+1=-1 *=vezes ^=elevado Espero ter ajudado e bons estudos.