Question

(Uff) São dadas duas progressões: uma
aritmética (P.A.) e outra geométrica (P.G.).
Sabe-se que:
- a razão da P.G. é 2;
- em ambas o primeiro termo é igual a 1;
- a soma dos termos da P.A. é igual à soma dos
termos da P.G.;
- ambas têm 4 termos.
Pode-se afirmar que a razão da P.A. é:
a) 1/6 b) 5/6 c) 7/6 d) 9/6 e) 11/6

Answer 1

Oi Cida,

De acordo com o termo geral de uma PG, vamos descobrir de fato quanto é essa soma de termos, descobrindo primeiro o 4º termo da PG:

$a_4 = 1*2^3 \\ a_4 = 8$

Sabendo o quarto termo, podemos verificar o valor da soma:

$S_4 = 1* \frac{2^4-1}{2-1} \\ \\ S_4 = 1* \frac{15}{1} \\ \\ S_4 = 15$

Se a soma dos 4 termos da PG é 15, e a da PA também, temos que:

$15 = \frac{(1+a_4)4}{2} \\ \\ 15 = \frac{4+4a_4}{2} \\ \\ 15 = 2+2a_4 \\ \\ 13 = 2a_4 \\ \\ a_4 = \frac{13}{2}$

Com o valor do 4º termo da PA, podemos por fim descobrir a razão "r":

$\frac{13}{2}=1*3r \\ \\ 3r = \frac{13}{2} -1 \\ \\ 3r = \frac{11}{2} \\ \\ r = \frac{11}{2} * \frac{1}{3}\\ \\ \boxed{r = \frac{11}{6}}$

Portanto, a razão dessa PA é 11/6.

Bons estudos!