Question

(UFES) Em um grupo de 57 pessoas, 3 pessoa gostam de arroz-doce, brigadeiro e cocada; 7 pessoas gostam de brigadeiro e cocada; 8 pessoas gostam de arroz-doce e cocada; 10 pessoas gostam de arroz-doce e brigadeiro. O total de pessoas do grupo que gostam de cocada é 15, de brigadeiro é 25 e de arroz-doce é 30. Calcule o número de pessoas do grupo que:

A) gostam de pelo menos um dos 3 doces;
B) não gostam de nenhum dos 3 doces;
C) gostam de arroz-doce, mas não gostam nem de brigadeiro nem de cocada

Answer 1

A questão é de Conjuntos.

A notação utilizada será:

A--- Arroz-doce
B--- Brigadeiro
C--- Cocada

n(A∩B∩C) --- pessoas que gostam de arroz-doce, brigadeiro e cocada;
n(A∩B) --- pessoas que gostam de arroz-doce e brigadeiro
n(A∩C) --- pessoas que gostam de arroz-doce e cocada
n(B∩C) --- pessoas que gostam de brigadeiro e cocada
n(A) --- pessoas que gostam de arroz-doce
n(B) --- pessoas que gostam de brigadeiro
n(C) --- pessoas que gostam de cocadas

a) Pessoas que gostam de pelo menos um sabor é a união de todas os conjuntos, logo:

n(A∪B∪C) --- Pessoas que gostam de pelo menos um doce. 

Das operações de conjuntos temos a seguinte expressão para encontrar 
n(A∪B∪C):

n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) -n(A∩C) -n(B∩C) + n(A∩B∩C)

Portanto,

n(A∪B∪C) = 30 + 25 + 15 -10 -8 -7 + 3 
n(A∪B∪C) = 48

Portanto, 48 pessoas gostam ao menos de um dos 3 doces.

B)Se o grupo possui 57 pessoas e 48 gostam de algum doce, logo:

Pessoas que não gostam de nenhum dos doces = 57 - 48 = 9

C)As pessoas que gostam somente de Arroz doce são:

n(A-(B∪C)) = n(A) - n((A∩(B∪C))
n(A-(B∪C)) = n(A) - n((A∩B)∪(A∩C))
n(A-(B∪C)) = n(A) - (n(A∩B) + n(A∩C) - n(A∩B∩C))
n(A-(B∪C)) = 30 -(10 + 8 - 3)
n(A-(B∪C)) = 30 -15
n(A-(B∪C)) = 15

Portanto, somente 15 pessoas gostam de arroz doce exclusivamente.