Question

(ufersa-rn) considere a matriz quadrada a = (aij) de ordem 2, onde aij = { sen ( π 2 i) , se i = j cos(πi) , se i ≠ j. A transposta da matriz a2 é igual a

Answer 1

A matriz transposta é

$a^T=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1&0\end{array}\right]$

Transposta de uma matriz

Dada uma matriz genérica, que, matricialmente, pode ser escrita como:

$a_{3x3}=\left[\begin{array}{ccc}A&B&C\\D&E&F\\G&H&I\end{array}\right]$

Onde o índice 3x3 indica o número de colunas (vertical) e linhas (horizontal) da matriz, respectivamente.

É dito que, fazer sua transposta, é o processo de inversão de linhas por colunas de tal matriz. Neste exemplo, teremos:

$a^T_{3x3}=\left[\begin{array}{ccc}A&D&G\\B&E&I\\C&F&H\end{array}\right]$

Onde o expoente T indica que é a transposta de a.

Para o problema dado, temos que, a é uma matriz quadrada de ordem 2, ou seja, há duas colunas e duas linhas. aij={sen(π/2*i)} para i=j. aij=cos(π*i) para i≠j.
Então:

$a=\left[\begin{array}{cc}sen( \pi/2)&cos(\pi)\\cos(2 \pi)&sen( \pi)\end{array}\right]$

Simplificando as operações trigonométricas:

$a=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\1&0\end{array}\right]$

Agora, fazendo a transposta de a:

$a^T=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1&0\end{array}\right]$

Que é sua transposta.

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