Question

) (UFAM) Uma circunferência passa pelos pontos A = (0, 2), B = (0, 8) e C = (8, 8). Então a equação da circunferência é

Answer 1

Os pontos de uma circunferência são sempre equidistantes do centro, caracterizando o raio. Dessa forma, a distância do ponto A até o centro será a mesma distância do ponto B até o centro. 

Assim, temos:

dac (distância de A até o centro) = $\sqrt{ (Xc - Xa)^2 + (Yc - Ya)^{2} }$, sendo Xc e Yc as coordenadas dos pontos do centro

dbc (distância de B até o centro) = $\sqrt{(Xc - Xb)^2 + (Yc - Yb)^2}$


Como dac = dbc:

$\sqrt{ (Xc - Xa)^{2} + (Yc - Ya)^{2} } = \sqrt{ (Xc - Xb)^{2} + (Yc - Yb)^{2} }$

Elevando ao quadrado dos dois lados, temos:

$(Xc - Xa)^{2} + (Yc-Ya)^{2} = (Xc-Xb)^{2} + (Yc-Yb)^{2}$

Dados os pontos de A (0,2) e de B (0,8), temos Xa = 0, Ya = 2 e Xb = 0, Yb = 8
Substituindo:

$(Xc - 0)^{2} + (Yc - 2)^2 = (Xc - 0)^2 + (Yc - 8)^2$

Basta, então, resolver:

$Xc^{2} + Yc^{2} - 4Yc + 4 = Xc^{2} + Yc^{2} - 16Yc + 64$

⇔ $12Yc = 60$

⇔ $Yc = 5$

Fazendo o mesmo processo de comparação entre os pontos A (0,2) e C(8,8), sabendo que a ordenada Y do centro é 5, teremos:

(Xc)^2 + (5-2)^2 = (Xc - 8)^2 + (5 - 8)^2

⇔ Xc^2 + 9 = Xc^2 - 16Xc + 64 + 9

⇔ 16Xc = 64

⇔ Xc = 4

Logo, as coordenadas do centro da circunferência são (4,5)

Para descobrir o raio, basta descobrir a distância do centro até qualquer um dos pontos. Utilizando o ponto A:

$\sqrt{(4 - 0)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Logo, sendo o Raio 5 e as coordenadas do centro (4,5), temos a equação da circunferência como:

$(X - Xc)^{2} + (Y - Yc)^2 = r^2$

Então:

$(X - 4)^{2} + (Y - 5)^2 = 25$

Espero ter ajudado.