Question

(UFAL) O gráfico da função quadrática definida por f(x)= 4x² + 5x + 1 é uma parábola de vértice V e intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é

Answer 1

f(x)= 4x² + 5x + 1 intercepta o eixo das abscissas quando: 

4x² + 5x + 1 = 0 
Δ = 25 - 4*4*1
Δ = 25 - 16
Δ = 9
√Δ =  3

x₁ = (-5+3)/8 = -2/8 = -1/4
x₂ = (-5-3)/8 = -8/8 = -1

A = (x₁, y₁) = (-1/4, 0)
B = (x₂, y₂) = (-1, 0)

Encontrando a coordenada do vértice: 
x₃ = -b/2a
x₃ = -5/2*4
x₃ = -5/8

y₃ = 4(-5/8)² + 5(-5/8) + 1
y₃ = 4*25/64 -25/8 + 1
y₃ = 25/16 - 25/8 + 1
y₃ = 25/16 - 50/16 + 16/16
y₃ = -25/16 + 16/16
y₃ = -25/16 + 16/16
y₃ = -9/16

V = (x₃,y₃) = (-5/8, -9/16)


Definimos os pontos A, B e V. Agora vamos montar a matriz do tipo abaixo, para calcular a área do triângulo:

$\left[\begin{array}{ccc} x_{1} & y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{array}\right]$

Substituindo os valores na matriz:

$\left[\begin{array}{ccc} -1/4 & 0 &1\\ -1&0&1\\ -5/8&-9/16&1\end{array}\right]$

Agora, vamos calcular o módulo do determinante e dividi-lo por 2 para obter a área do triângulo: 

Determinante = -1*(-9/16)  - (-9/16)*(-1/4) =
Determinante =  9/16 - 9/64
Determinante = 36/64 - 9/64
Determinante = 27/64

Área = |Determinante|/2
Área = (27/64)/2
Área = 27/128

Answer 2

Olá. Encontre os valores do vértice V dado por (-b/2a , -Δ/4a); dos coeficientes a, b e c da equação dada e os valores das raízes, X1 e X2 pela fórmula de Báskara.
Depois monte o gráfico e visualize o triângulo formado pelos pontos A, B e V. Sendo A e B iguais a X1 e X2, respectivamente.
Segue resolução em anexo.