Question

(UFAL) Considere as soluções reais da equação 2cos²x + 3senx - 3 = 0 no intervalo de [0,π]. A soma dessas soluções é: Resposta (3π/2)

Answer 1

Olá Artur.


Conhecendo a seguinte relação trigonométrica:

$\mathsf{sen^2x+cos^2x=1\Rightarrow cos^2x=1-sen^2x}$


Fica mais fácil em responder.


$\mathsf{2\cdot cos^2x + 3\cdot sen~x - 3 = 0\Rightarrow 2\cdot(1-sen^2x)-3\cdot(1-sen~x)=0}\\\\=\\\\\mathsf{2\cdot(1-sen~x)\cdot(1+sen~x)-3\cdot(1-sen~x)=0}\\\\=\\\\\mathsf{(1-sen~x)\cdot(2+2\cdot sen~x-3)=0}\\\\=\\\\\mathsf{\underbrace{(\mathsf{1-sen~x)}}\cdot\underbrace{\mathsf{(2\cdot sen~x-1)}}=0}\\~~~~~~~\mathsf{r_1}~~~~ ~~~~~~~~~~~\mathsf{r_2}\\\\\\\mathsf{r_1:1-sen~x=0\Rightarrow -sen~x=-1\cdot (-1)\Rightarrow sen~x=1}\\\\\\\\\mathsf{r_2:=2\cdot sen~x-1=0\Rightarrow sen~x = \dfrac{1}{2}}$


Temos então que as 2 raízes dessa equação é 1 e 0,5.

Como queremos as raízes dentro do intervalo [0, π], temos os seguintes ângulos notáveis em graus:

sen(30º) = 0,5
sen(90º) = 1
sen(150º) = 0,5

Convertendo em radianos:


$\mathsf{sen(30\º):}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\pi}{x}=\dfrac{180}{30}\Rightarrow 6x=\pi\Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6}}\\\\\\\\\mathsf{sen(90\º):}\\\\\\\\\mathsf{\dfrac{\pi}{x}=\dfrac{180}{90}\Rightarrow 2x=\pi\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}}\\\\\\\\\mathsf{sen(150\º):}$


$\mathsf{\dfrac{\pi}{x}=\dfrac{180}{150}\Rightarrow 5x=6\pi\Rightarrow x=\dfrac{5\pi}{6}}$


Somando as raízes, temos:


$\mahsf{\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{5\pi}{6}\Rightarrow \dfrac{\pi+3\pi+5\pi}{6}\Rightarrow \dfrac{9\pi}{6}=\boxed{\dfrac{3\pi}{2}}}$


Dúvidas? comente.

Answer 2

Lembre-se que podemos tratar sen x como uma função, ou seja, f(x) = sen x, de imagem y = sen x. Realizemos algumas manipulações na expressão, e substituamos y = sen x para descobrir x em função do valor de sua imagem, na função f(x) = sen x. 

$\mathsf{2\cdot cos^2x+3\cdot sen~x-3=0}\\\\\mathsf{2\cdot\hspace{-7}\underbrace{\mathsf{(1-sen^2x)}}_{rela\c{c}\~ao~fundamental}\hspace{-7}+\hspace{2}3\cdot sen~x-3=0}\\\\\mathsf{2-2\cdot sen^2x+3\cdot sen~x-3=0}\\\\\mathsf{-2\cdot \underbrace{\mathsf{~sen^2x~}}_{y^2}+3\cdot \underbrace{\mathsf{~sen~x~}}_{y}-1=0}\\\\\mathsf{\underbrace{\mathsf{-2\cdot y^2+3y-1=0}}_{equa\c{c}\~ao~quadr\'atica}}$

Resolvendo a equação quadrática por Báscara:

$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},~onde~\Delta=b^2-4ac}\\\\\\\mathsf{\Delta=3^2-4\cdot(-2)\cdot(-1)}\\\\\mathsf{\Delta=9-8}\\\\\mathsf{\Delta=1~~(0\ \textless \ \Delta~\Rightarrow~duas~ra\'izes~distintas)}$

$\mathsf{y_1=\dfrac{-3-\sqrt{1}}{~~2\cdot(-2)}\hspace{50}y_2=\dfrac{-3+\sqrt{1}}{~~2\cdot(-2)}}\\\\\\\mathsf{y_1=\dfrac{-3-1}{-4}\hspace{60}y_2=\dfrac{-3+1}{-4}}\\\\\\\mathsf{y_1=\dfrac{-4}{-4}\hspace{78}y_2=\dfrac{-2}{-4}}\\\\\\\mathsf{y_1=1\hspace{89}y_2=\dfrac{1}{2}}$

Estas são as imagens de x no ciclo, no intervalo [0,π], basta agora descobrir quais valores de x que possuem estas imagens

$\mathsf{sen~x=1~\Rightarrow~x=\dfrac{\pi}{2}~~(S_1)}\\\\\\\mathsf{sen~x=\dfrac{1}{2}~\Rightarrow~x=\dfrac{\pi}{6}~(S_2)~~~ou~~~x=\dfrac{5\pi}{6}~(S_3)}$

Realizando a soma das soluções:

$\mathsf{S_1+S_2+S_3=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{9\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}~~(resposta)}$

Obs: Em sen x = 1/2, encontramos duas soluções, por conta da simetria em relação ao eixo dos senos, entre os ângulos do primeiro e segundo quadrantes, imagine π/6 = 30º, seu simétrico em relação ao eixo dos senos é 5π/6 = 150°.

Isto ocorreu pois o exercício restringiu as soluções ao intervalo [0, π] primeiro e segundo quadrantes.