Question

(UF-PI) O número de soluções da equação sen²x + cos²2x = 1 pertencentes ao intervalo [0, 2π] é:

a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9

Obs.: de acordo com o meu gabarito, a resposta é a letra d, mas preciso da resolução

Answer 1

s = sen x

c = cos x

s²+(cos2x)(cos2x)=1

s²+(c²-s²)(c²-s²)=1

s²+(1-s²-s²)(1-s²-s²)=1

s²+(1-2s²)(1-2s²)=1

s²+1-4s²+4s⁴=1

-3s²+4s⁴=0

s²(-3+4s²)=0

s=0

-3=-4s²

s²=0.75

s=±√3/2

x=nπ ou x=π/3+nπ ou x=-π/3+nπ, n ∈ Z

Agora tentamos diferentes valores de n:

n=0:

x=0 ou x=π/3 ou x=-π/3

n=1:

x=π ou x=4π/3 ou x=2π/3

n=2:

x=2π ou x=7π/3 ou x=5π/3

Portanto existem 7 solucoes dentro do intervalo.